¿Qué es una matriz no invertible? ¿Cuáles son algunos ejemplos?

Answer 1

Cualquier matriz con cero determinante no es invertable. Estas matrices básicamente aplastan las cosas a un espacio dimensional más bajo. Has perdido información.

La más fácil de entender es la matriz de identidad con una de las reemplazadas por un cero.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

Si multiplicamos esta matriz por un vector compatible, simplemente arroja el tercer componente. Por supuesto, esto no es invertible porque no tenemos idea de recuperar ese tercer componente.

Lo mismo es cierto para cualquier matriz con una fila de todos los ceros.

[matemáticas] \ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} \\ a_ {21} y a_ {22} y a_ {23} \\ 0 & 0 y 0 \ end {bmatrix} [/matemáticas]

En general, puede demostrar que el determinante que es cero es lo mismo que tener al menos un valor propio cero. Esto se debe al hecho de que el determinante es el producto de los valores propios.

[matemáticas] \ det (A) = \ prod_i \ lambda_i [/ ​​matemáticas]

Entonces, la no invertibilidad es equivalente a tener un espacio nulo no trivial. Más de una cosa puede ir al vector cero.

Answer 2

Condiciones de invertibilidad

Teorema de la matriz invertible [1]

Veamos algunos de estos.

1. A es una fila equivalente a una matriz de identidad nxn

1. la matriz de identidad tiene un inverso.

A tiene n pivotes

1. la matriz es rango completo [matemáticas] rango (A) = [/ matemáticas] número de pivotes en cualquier forma escalonada

La ecuación Ax = 0 solo tiene una solución trivial x = 0

1. nota [matemáticas] \ textrm {Nulo (A)} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} | Hacha = 0 \} [/ matemáticas]
2. entonces si el espacio nulo es trivial es rango completo

las columnas son linealmente independientes

1. Es rango completo [matemáticas] \ textrm {Rango (A)} = Span (col (A)) [/ matemáticas]
2. entonces, si son linealmente independientes, la dimensión del rango es el rango y, por lo tanto, es rango completo y el rango completo es invertible

Una transformación lineal [math] x \ mapsto Ax [/ math] es uno a uno

1. [matemáticas] \ textrm {Rango (A)} = \ {Hacha | x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \} [/ math]
2. entonces, si es uno a uno, hay un vector para cada producto de vector de matriz y son linealmente independientes y de rango completo

Para cada vector de columna [math] b \ in \ mathbb {R} ^ {n} Ax = b [/ math] hay una solución única

1. Esa es la declaración anterior

Las columnas de A span [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]

1. Lo probé en 4.

la transformación lineal [math] x \ mapsto Ax [/ math] es una sorpresa

1. si es una sobreposición, el rango del tramo de Ax es todo el espacio [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] y luego son linealmente independientes

hay una matriz nxn C tal que [matemática] CA = I_ {n} [/ matemática]

1. Tiene que ser invertible, se deja inverso

Hay una matriz D ansn tal como AD = [matemáticas] I_ {n} [/ matemáticas]

1. Arriba derecha inversa

La matriz de transposición [matemática] A ^ {T} [/ matemática] es invertible

1. La matriz es nxn, entonces acaba de hacer una permutación de la matriz, si es invertible, la matriz es invertible

Las columnas de A forman una base para [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]

1. Si forman una base para el espacio, abarcan el espacio

El espacio de columna de A es igual a [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]

1. Ver # 4

La dimensión del espacio columna de A es n

1. la dimensión del espacio de la columna es el rango, es el mínimo de las dimensiones de la matriz, es el n, entonces es el rango completo. entonces es invertible.

El rango de A es n

1. este es el numero 14

el espacio nulo es el vector cero

1. este es el número 3

0 no puede ser un valor propio para A

1. Con la descomposición propia podemos mostrar esto o SVD, si no hay un valor propio cero o valores singulares, entonces no es singular, es decir, es invertible.

determinante no es cero

1. [matemáticas] det (A) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} \ lambda_ {i} [/ matemáticas]
2. donde son valores propios si tiene un valor propio que es 0. Entonces no es invertible. podemos mostrar esto por el eigendecompositon

El complemento ortogonal del espacio de columnas de A es el vector cero

1. El vector ortogonal al espacio de la columna es el vector cero, lo que significa que el espacio de la columna es todo el espacio.

El complemento ortogonal al espacio nulo es [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]

1. Los vectores ortogonales al espacio nulo crean todo el espacio. Es de rango completo. Es por eso invertible

El espacio de fila de A es [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ math]

1. [matemáticas] \ dim (Fila (A)) = \ dim (Col (A)) [/ matemáticas], entonces es rango completo y luego es invertible

La matriz tiene n valores singulares distintos de cero

1. Dejando esto para que te des cuenta. Acabo de escribir todo esto.

Notas al pie

[1] Teorema de la matriz invertible

Answer 3

Una matriz [matemática] M [/ matemática] es invertible o no singular si existe otra matriz [matemática] N [/ matemática] que satisfaga las dos igualdades [matemática] MN = I [/ matemática] y [matemática] NM = I [/ math], donde [math] I [/ math] es una matriz de identidad del tamaño apropiado. Si no existe tal matriz [matemática] N [/ matemática], entonces [matemática] M [/ matemática] es no invertible o singular .

Ejemplos de matrices no invertibles son:

• Cualquier matriz cuyo número de filas y columnas no coincida. Suponga que [math] M [/ math] es una matriz invertible [math] m \ times n [/ math] donde [math] m \ ne n [/ math], por contradicción. Entonces [math] N [/ math] debe ser una matriz [math] n \ times m [/ math], de lo contrario, uno de [math] MN [/ math] o [math] NM [/ math] no existiría. Entonces [math] I [/ math] es una matriz [math] m \ times m [/ math] en la igualdad [math] MN = I [/ math], y una [math] n \ times n [/ math] matriz en la igualdad [matemáticas] NM = I [/ matemáticas]. Deje [math] p [/ math] ser el menor de [math] m [/ math] y [math] n [/ math], de modo que [math] M [/ math] tenga el máximo de [math] p [ / math], y por lo tanto, también lo hacen las matrices [math] MN [/ math] y [math] NM [/ math]. Esto es imposible porque [matemática] MN = I [/ matemática] tiene rango [matemática] m [/ matemática] y [matemática] NM = I [/ matemática] tiene clasificación [matemática] n [/ matemática] – lo que implica que [matemática ] p = m = n [/ math] después de todo.
• Desde el punto anterior, una matriz es invertible si es una matriz cuadrada de rango completo. Esta también es una condición suficiente. Por lo tanto, cualquier matriz cuadrada que no tenga rango completo no es invertible.
• Ejemplo simple: cualquier matriz diagonal que tenga al menos una entrada diagonal igual a cero no es invertible.

Answer 4

Una matriz no invertible es una matriz que no se puede invertir. Un ejemplo fácil es la matriz 2 × 2 que tiene el número 1 en cada entrada.