Permítanme reformular su pregunta en términos de transformaciones lineales: si [matemáticas] A, C [/ matemáticas] son de rango completo (es decir, rango [matemáticas] n [/ matemáticas]), ¿cuál debe ser el rango de [matemáticas] B [/ matemáticas]?
Cualquier transformación lineal debe enviar el vector 0 a sí mismo. Una transformación lineal es invertible si solo envía el vector 0 a 0; Esto tiene sentido porque si envía otros vectores a 0, entonces “pierde información” intuitivamente hablando, ya que no sabe cómo recuperar los vectores originales después de que se hayan enviado a 0.
Ahora supongamos que [matemáticas] B [/ matemáticas] no es de rango completo; declaraciones equivalentes de las cuales (de pretenciosidad variable) son: que [math] B [/ math] tiene un núcleo no trivial, que la nulidad de [math] B [/ math] es distinta de cero, y la que está buscando, que [matemáticas] B [/ matemáticas] es singular (es decir, no reversible). Pensemos en las implicaciones de que [math] B [/ math] tiene un núcleo no trivial o un espacio nulo, lo que significa que hay algún vector distinto de cero [math] x [/ math] al que [math] B [/ math] se asigna 0. Pero como [math] B \ vec {x} = 0 [/ math], [math] A (B \ vec {x}) = 0 [/ math] – que significa [math] AB [/ math] mapas algunos vectores distintos de cero a 0. ¡Pero [matemática] AB = C [/ matemática] y [matemática] C [/ matemática] no pueden ser no reversibles! Por lo tanto tenemos una contradicción.
Esto implica que [math] B [/ math] también debe ser invertible.
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