¿Por qué dos espacios propios de una matriz son perpendiculares entre sí?

Answer 1

En general, no lo son. Tomemos, por ejemplo, la matriz [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \ end {pmatrix} [/ math]: puede verificar que tiene vectores propios [math] [1,0] [/ matemática] y [matemática] [1,1] [/ matemática], con valores propios 1 y 2 respectivamente. Estos vectores propios pertenecen a diferentes espacios propios y claramente no son perpendiculares.

(Como comentario aparte: sería muy sorprendente si los espacios propios fueran siempre perpendiculares. De hecho, solo puede definir qué significa perpendicular después de haber elegido algún producto interno en su espacio; si los espacios propios fueran perpendiculares para cualquier matriz, le diría que solo había una opción de producto interno, ¡hasta la escala!)

Sin embargo, lo que pregunta es cierto para una matriz autoadjunta, y más generalmente para una matriz normal (de hecho, los espacios propios son perpendiculares si y solo si la matriz es normal). Para simplificar, probaré la proposición para el caso especial donde nuestro espacio es [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] con el producto de puntos, y nuestra matriz [math] A [/ math] es simétrica, es decir [matemáticas] A = A ^ T [/ matemáticas]. Es bastante fácil generalizar esto para otros casos.

Ahora, deje que [math] \ lambda_1 [/ math] y [math] \ lambda_2 [/ math] sean valores propios distintos de [math] A [/ math], y deje que [math] v _ {\ lambda_1} [/ math] y [math] v _ {\ lambda_2} [/ math] ser vectores propios de los espacios propios correspondientes. Queremos demostrar que [math] v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2} = 0 [/ math].

Considera lo siguiente:

[matemáticas] v _ {\ lambda_1} ^ TA v _ {\ lambda_2} = v _ {\ lambda_1} ^ T \ lambda_2 v _ {\ lambda_2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lambda_2 v _ {\ lambda_1} ^ T v _ {\ lambda_2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lambda_2 (v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2}) [/ matemáticas]

Por otra parte:

[matemáticas] v _ {\ lambda_1} ^ TA v _ {\ lambda_2} = v _ {\ lambda_1} ^ TA ^ T v _ {\ lambda_2} [/ matemáticas]

[math] = \ left (A v _ {\ lambda_1} \ right) ^ T v _ {\ lambda_2} [/ math]

[matemáticas] = \ lambda_1 (v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2}) [/ matemáticas]

Dado que ambas expresiones son iguales, tenemos:

[matemáticas] \ lambda_1 (v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2}) = \ lambda_2 (v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2}) [/ math],

que, dado que [math] \ lambda_1 \ neq \ lambda_2 [/ math], implica que [math] v _ {\ lambda_1} \ cdot v _ {\ lambda_2} = 0 [/ math]. QED