¿Por qué la proyección ortogonal es la proyección más cercana al vector original?

Answer 1

Dejemos que [math] a = proj_ {A} (b) [/ math], entonces [math] a [/ math] es el punto de proyección.

Supongamos que hay un punto diferente [matemática] c \ en A [/ matemática]. Sabemos lo siguiente:

• [math] ba [/ math] es ortogonal a [math] A [/ math] por definición.
• [math] (ac) [/ math] está en [math] A [/ math] (porque tanto [math] a [/ math] como [math] c [/ math] están en [math] A [/ math] )
• Por lo tanto, [math] (ba) [/ math] es ortogonal a [math] (ac). [/ Math]

Pero [matemáticas] (bc) = (ba) + (ac) [/ matemáticas]. Por el teorema de Pitágoras, entonces, tenemos que:

[matemáticas] d (b, c) ^ 2 = d (b, a) ^ 2 + d (a, c) ^ 2 [/ matemáticas]

Pero [matemática] d (a, c)> 0 [/ matemática] porque [matemática] a [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​diferentes. Entonces [matemáticas] d (b, a) <d (b, c) [/ matemáticas] inmediatamente. Como esto es cierto para todos [math] c \ en A [/ math], lo siguiente sigue.