¿Por qué la matriz simétrica nunca es defectuosa (tiene un conjunto completo de vectores propios independientes)? ¿Puedes dar una prueba intuitiva?

Answer 1

Seguro. La prueba se basa en dos lemas básicos.

Lema 1: cualquier matriz simétrica real tiene al menos un vector propio real.

Lema 2: Si [math] \ Lambda [/ math] es un espacio propio de una matriz simétrica real [math] A [/ math] y [math] \ Lambda ^ \ perp [/ math] es el espacio perpendicular a ese espacio propio ( es decir, el complemento ortogonal), luego [matemáticas] A \ Lambda ^ \ perp \ subset \ Lambda ^ \ perp [/ matemáticas] (que significa [matemáticas] A [/ matemáticas] toma cualquier cosa perpendicular a este espacio propio a algo perpendicular a ese espacio propio) .

Ambos son resultados algebraicos estándar. Daría pruebas de ellos, pero honestamente creo que descubrir por qué son verdaderos es un buen ejercicio, así que se lo dejaré al lector.

Sin embargo, permítanme mostrar cómo la prueba se sigue de estos dos lemas inmediatamente.

Prueba de teorema:

Deje que [math] A [/ math] sea nuestra matriz simétrica real, [math] n \ times n [/ math]. Sabemos que tiene al menos un vector propio real, así que, de hecho, [math] \ Lambda_1 [/ math] sea un espacio propio de [math] A [/ math] con eigenvalue [math] \ lambda_1 [/ math] y multiplicidad ( es decir, la dimensión del espacio propio) [math] m_1 [/ math].

Sabemos que [math] \ Lambda ^ \ perp [/ math] es un espacio vectorial [math] (n – m_1) [/ math] -dimensional en el que podemos restringir [math] A [/ math] (porque [math] ] A \ Lambda ^ \ perp \ subset \ Lambda ^ \ perp [/ math]), por supuesto, seguirá siendo simétrico.

¡Pero eso significa que podemos aplicar el Lema 1 nuevamente, pero no en el espacio completo [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], sino en la restricción [math] \ Lambda ^ \ perp [/ math]! Entonces podemos encontrar un nuevo vector propio real dentro de [math] \ Lambda ^ \ perp [/ math] y así considerar un segundo espacio propio [math] \ Lambda_2 [/ math] (que, por construcción, es necesariamente ortogonal a [math] \ Lambda_1 [/ math]).

Nuevamente, considere el cumplido ortogonal de [math] \ Lambda_2 [/ math] y aplique Lemma 2 a este [math] (n – m_1 – m_2) [/ math] -dimensional space (donde [math] m_2 [/ math] es la dimensión de [math] \ Lambda_2 [/ math]).

Por lo tanto, al aplicar Lemma 1 y Lemma 2 alternativamente, construimos más y más espacios propios ortogonales [math] \ Lambda_1, \ Lambda_2, \ ldots [/ math], y debido a que nuestro espacio es de dimensión finita, este proceso eventualmente debe detenerse, y así hemos descompuesto completamente nuestro espacio [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] en espacios propios ortogonales de [math] A [/ math]. QED

Answer 2

Primero me gustaría proponer que el polinomio mínimo de cualquier matriz simétrica real se divida en factores lineales distintos, y dar una breve explicación informal de por qué esto es cierto. Considere cualquier matriz hermitiana: su polinomio mínimo existe y se divide como cualquier polinomio en un campo cerrado algebraicamente como el campo de números complejos. Además, las raíces del polinomio mínimo de cualquier matriz hermitiana son reales, y cada uno de sus factores lineales son distintos; Las raíces del polinomio mínimo de cualquier matriz hermitiana en este contexto son sus valores propios. Toda matriz simétrica con entradas reales puede interpretarse como una matriz hermitiana; por lo que su polinomio mínimo se divide en factores lineales distintos, y también tiene raíces / valores propios reales. En consecuencia, se puede decir que el polinomio mínimo de cualquier matriz simétrica real se divide en distintos factores lineales; realmente no es necesario interpretarlo como una matriz simétrica compleja con entradas reales ya que las raíces de su polinomio mínimo siempre serán reales.

Ahora, suponga que [math] A [/ math] es cualquier matriz simétrica real, y su polinomio mínimo se divide en [math] n [/ math] distintos factores lineales como [math] p (x) = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ n (x – \ lambda_k) [/ math]. Luego defina [math] q_k (x): = (x- \ lambda_k) ^ {- 1} p (x) [/ math] para todos los números naturales [math] 1 \ leq k \ leq n [/ math]. Yo propondría que el conjunto de polinomios [math] S = \ {q_k (x) \ mid 1 \ leq k \ leq n \} [/ math] es coprime; y en este contexto particular, se deduce del hecho de que [matemática] S [/ matemática] es coprime que [matemática] \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} a_k q_k (x) = 1 [/ matemática] para algunos números reales [matemática] a_k [/ matemática] para cada [matemática] 1 \ leq k \ leq n [/ matemática]. Ahora, defina [matemática] E_k: = a_k q_k (A) [/ matemática] para cada [matemática] 1 \ leq k \ leq n [/ matemática], y vea en consecuencia [matemática] \ suma \ límites_ {k = 1 } ^ {n} E_k = I [/ matemáticas]. Observe que cada [matemática] E_k [/ matemática] es un idempotente, y en este contexto particular de [matemática] A [/ matemática] es una matriz simétrica real, cada [matemática] E_k [/ matemática] es además una proyección ortogonal sobre el espacio propio para el valor propio [math] \ lambda_k [/ math] de [math] A [/ math]. Suponga que, de hecho, [math] A [/ math] es una matriz [math] m [/ math] x [math] m [/ math], y vea que para cualquier vector [math] v \ in \ mathbb {R} ^ {m} [/ math], [math] v = \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} E_k v [/ math], donde cada [math] E_k v [/ math] es un vector propio para el valor propio [matemáticas] \ lambda_k [/ matemáticas] de [matemáticas] A [/ matemáticas]; además (suponiendo que v no es cero y el polinomio mínimo relativo de [math] v [/ math] es solo el polinomio mínimo de [math] A) [/ math], el conjunto de vectores [math] \ {E_k v \ mid 1 \ leq k \ leq n \} [/ math] son ​​ortogonales y por lo tanto linealmente independientes. Finalmente se deduce de esto que [math] \ mathbb {R} ^ {m} = \ oplus_ {k = 1} ^ {n} \ mathrm {image} (E_k) [/ math]. Por lo tanto, en última instancia, se sigue aún más aquí que [math] \ mathbb {R} ^ {m} [/ math] tiene una base ortonormal de vectores propios (que sucede que diagonaliza [math] A [/ math]); después de encontrar una base para cada [math] \ mathrm {image} (E_k) [/ math] y ortonormalizarlo.

Esa sería mi respuesta informal a su pregunta.