¿Hay alguna manera de encontrar los valores propios restantes de una matriz después de haber encontrado algunos de ellos?

Estás haciendo una pregunta muy general. Depende de cuán grande sea la matriz en cuestión, si sabes algo especial sobre su estructura, etc. para dar una respuesta realmente buena. Hay algunos problemas de tarea que le indican la traza o el determinante y algunos valores propios y le piden que calcule el resto, pero supongo que tiene algo más difícil.

¿Sabes si encontraste los valores propios más grandes / más pequeños? En algunos problemas que involucran dinámicas, los valores propios más grandes / más pequeños dominan el comportamiento. Creo que son lo suficientemente grandes en relación con los demás. ¡Quizás no te interesen todos los valores propios!

Los únicos trucos que se me ocurren implican factorizar la parte del polinomio característico correspondiente que conoce del polinomio característico de toda la matriz. Quizás el resultado de menor grado sea manejable.

Si no puede obtener el polinomio característico de la matriz para usar mi truco anterior, entonces uno puede hacer el equivalente geométrico de esta factorización. Encuentre los espacios propios correspondientes a los valores propios que conoce. Encuentra una base de cada uno. Extienda la unión de esas bases a una base de todo el espacio. La matriz se factorizará en una parte diagonal y una parte cuadrada más pequeña con 0 en las entradas de término cruzado (puede probar esto usando la forma normal de Jordan). Esperemos que pueda calcular el poli característico de la matriz más simple.

Se llama iteración simultánea por el QR

Elija [matemáticas] \ overline {Q} ^ {0} \ in \ mathbb {R} ^ {m \ times n} [/ math] con columnas ortonormales

para k = 1,2, …

[matemáticas] Z = A \ overline {Q} ^ {k-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ overline {Q} ^ {k} \ overline {R} ^ {k} = Z [/ math] Factorización QR reducida de Z

La iteración simultánea es aplicar la iteración de potencia a varios vectores a la vez.

Está cubierto de trefethen y bau pg 213

Tenemos [matemáticas] V ^ {0} = \ {v_ {1} ^ {0}, \ cdots, v_ {n} ^ {0} \} [/ matemáticas]

Debería haber mejorado la V como una matriz, pero no puedo entender cómo obtener los separadores de columnas como el libro. es una matriz … en cambio, parece un conjunto.

entonces [matemáticas] V ^ {k} = A ^ {k} V ^ {0} = \ {v_ {1} ^ {k}, \ cdots, v_ {n} ^ {k} \} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_ {j} ^ {0} = a_ {1j} q_ {1} + \ cdots + a_ {mj} q_ {m} [/ matemáticas]

[matemáticas] v_ {j} ^ {k} = \ lambda_ {1} ^ {k} a_ {1j} q_ {1} + \ cdots + \ lambda_ {m} ^ {k} a_ {mj} q_ {m} [/matemáticas]

Creo que a veces se puede usar la traza * o el determinante de una matriz para obtener el último valor propio.

Las reglas dicen que:
La suma de los valores propios de una matriz es igual a la traza de la matriz.

Entonces, si tiene todos los valores propios, pero uno, puede restar su suma de la traza de la matriz.

La otra regla establece:
El producto de los valores propios lambda_1 * lambda_2 … lambdaN es igual al determinante de la matriz.

* El rastro de una matriz es la suma de sus términos diagonales.

Muchos métodos iterativos para valores propios utilizan alguna variante de “deflación”: después de encontrar algunos valores propios y vectores propios, itera en un subespacio ortogonal a los vectores propios que ha encontrado. Por lo general, eso acelera la iteración porque el acondicionamiento de la matriz es mejor.

Este tipo de técnicas solo tiene sentido si se trata de matrices grandes. Para los problemas escolares, es poco probable que te ayuden.