Cómo explicar la relación de completitud en la mecánica cuántica

Answer 1

La pregunta no es específica de la mecánica cuántica. Se trata de álgebra lineal, específicamente espacios vectoriales. En, un conjunto de vectores está completo, si cualquier vector del espacio en consideración puede representarse como una combinación lineal de vectores de este espacio.

Ahora:

1. Deje que [math] I [/ math] sea un operador de unidad. Es decir, para cualquier vector [matemáticas] | a> [/ matemáticas], [matemáticas] I | a> = | a> [/ matemáticas].
2. Supongamos que tenemos un conjunto de vectores [math] | Vn> [/ math] que proporcionan la descomposición del operador de la unidad : Sum [math] | Vn> [/ math] tenemos: Sum [math] | Vn> = | a> [/ math]. En otras palabras, la combinación lineal de vectores [matemática] | Vn> [/ matemática] con coeficientes [matemática] Cn = [/ matemática] produce el vector [matemática] | a> [/ matemática], y esto es cierto para cualquier vector. Por lo tanto, el conjunto de [math] | Vn> [/ math] está completo. QED
3. Permítanme repetirlo de manera informal: el operador de la unidad “cubre” todo el espacio vectorial, todas sus esquinas :-); Si un conjunto de vectores puede descomponer el operador de la unidad, este conjunto también cubre todo el espacio, está completo.
4. Finalmente, su fórmula ∑Φn (x) Φn (y) = δ (x − y) es exactamente una descomposición del operador de la unidad, escrita para el caso especial del espacio de funciones [math] F (x) [/ math]. Si normalmente no usa las anotaciones de Dirac, puede repetir la derivación en los pasos 1, 2 usando las anotaciones normales con integración sobre [matemáticas] x [/ matemáticas].

En respuesta a la solicitud en el comentario: derivación en anotaciones “normales”.

Tomemos su igualdad, ∑Φn (x) Φn (y) = δ (x − y), y multipliquémosla por la función arbitraria [math] f (y) [/ math]:

[matemáticas] \ sum_ {n} f (y) \ Phi_n (x) \ Phi_n (y) = f (y) \ delta (x – y) [/ matemáticas]

Ahora integre ambas partes sobre [math] y [/ math]:

[matemáticas] \ sum_ {n} \ Phi_n (x) \ int \ Phi_n (y) f (y) dy = \ int f (y) \ delta (x – y) dy [/ math]

Denote [math] \ int \ Phi_n (y) f (y) dy \ equiv c_n [/ math]. Entonces tenemos

[matemáticas] \ sum_ {n} c_n \ Phi_n (x) = f (x) [/ matemáticas]

Por lo tanto, obtuvimos una función arbitraria [math] f (x) [/ math] como una combinación lineal de [math] \ Phi_n (x) [/ math].

Nota importante : debes practicar y enseñarte a ti mismo para poder hacer derivaciones similares por ti mismo, si quieres aprender álgebra lineal o mecánica cuántica.

Answer 2

La integridad es en realidad un término matemático. En mecánica cuántica, es un término que describe estas entidades matemáticas llamadas espacios métricos .

Los espacios métricos son un tipo específico de entidad matemática llamada espacio vectorial . Un espacio vectorial es un conjunto de vectores que están cerrados bajo la suma y la multiplicación escalar. Eso significa que si agrega dos vectores o multiplica un vector de ese conjunto por un escalar, siempre obtendrá un vector en ese conjunto como resultado.

Un espacio métrico es un espacio vectorial donde la distancia y los ángulos entre dos vectores se definen de alguna manera. La mayoría de las personas que estudian incluso física introductoria usan un espacio métrico todo el tiempo, espacio euclidiano, simplemente no se les dice que sí. En ese espacio, la distancia entre dos vectores es la longitud de su diferencia. Por ejemplo, si tiene dos vectores, [math] \ mathbf {u} [/ math] y [math] \ mathbf {v} [/ math], la distancia entre ellos sería

[matemáticas] || \ mathbf {u} – \ mathbf {v} || = (u_x-v_x) ^ 2 + (u_y-v_y) ^ 2 + (u_z-v_z) ^ 2. [/ math]

Cuando alguien dice que un espacio métrico está completo , significa que no hay “agujeros” en el espacio métrico. En un espacio métrico completo, siempre hay un número infinito de vectores entre dos vectores. Cuando decimos que el espacio euclidiano está completo , nos referimos al hecho de que si tenemos dos vectores, digamos por ejemplo

[matemáticas] \ mathbf {v} _1 = (1, 0, 0) \; \; \; \ text {y} \; \; \; \ mathbf {v} _2 = (2, 0, 0), [/ math]

hay un número infinito de vectores entre ellos, es decir, [math] \ mathbf {v} _3 = (1.1, 0, 0) [/ math], [math] \ mathbf {v} _4 = (1.01, 0, 0 ) [/ math], [math] \ mathbf {v} _5 = (1.001, 0, 0) [/ math] y muchos otros. Cuando se completa un espacio vectorial, podemos realizar operaciones como tomar límites, derivadas (o gradientes) e integrales en vectores en ese espacio. De hecho, para realizar operaciones de cálculo en un espacio métrico, tiene que estar completo .

Además, cuando se completa un espacio métrico, podemos escribir cualquier vector en ese espacio como una suma infinita de otros vectores en ese espacio, esto es muy útil en la mecánica cuántica.

En la mecánica cuántica, las ondas de partículas no siempre ocupan un estado definido de energía, posición o momento. A menudo, una partícula ocupa una superposición de esos estados. Nos gusta describir los posibles estados que una partícula puede ocupar como vectores que definen un espacio métrico. El estado de la partícula sería un vector contenido en ese espacio. Algunos de los vectores representan estados definidos de energía, posición o momento, pero la mayoría representa una superposición de estados.

Si demostramos que el espacio vectorial que contiene los estados posibles de la partícula está completo, podemos escribir el estado de la partícula como una suma infinita de estados de momento o energía definidos. Esto es muy útil, porque es mucho más fácil describir cómo evolucionan estos estados individuales de energía o momento en nuestro sistema que describir el estado mixto de la partícula.

Perdón por la larga explicación, pero este es un concepto bastante importante en el estudio formal de QM. Espero que no aumente la confusión.

EDITAR: Dado que el OP ha dejado en claro que entiende la integridad, esta es una explicación de la relación de integridad en la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica, la relación de completitud establece que cualquier partícula en el estado [math] | \, \ psi \, \ rangle [/ math], que es un vector de estado en un espacio de Hilbert, puede escribirse como la suma infinita

[matemáticas] | \, \ psi \, \ rangle = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty a_n \, | \, \ phi_n \, \ rangle [/ math]

donde cada [math] | \, \ phi_n \, \ rangle [/ math] representa un estado propio de algún observable, digamos energía (este vector representa la partícula en un estado de energía definido).

Esta relación proviene del hecho de que en el espacio métrico completo, cada secuencia de Cauchy infinita converge. Una secuencia de Cauchy es una secuencia de puntos cuyos términos se vuelven cada vez más cercanos entre sí.

En el caso de sumas infinitas, una suma

[matemáticas] S = \ suma \ límites_ {i = 1} ^ \ infty a_i [/ ​​matemáticas]

puede escribirse como el límite de una secuencia de sumas parciales, es decir

[matemáticas] S = \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} s_n \; \; \; \ text {donde} \; \; \; s_n = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n a_i. [/ math]

Como sabemos que nuestro espacio métrico está completo, sabemos que si las sumas parciales se acercan cada vez más, esta secuencia converge a un punto en nuestro espacio. Por lo tanto, sabemos que la suma infinita converge en nuestro espacio.

Si una partícula ocupa un estado que puede representarse como un vector en un espacio métrico completo, entonces la relación de integridad se cae como consecuencia directa del hecho de que cada secuencia de Cauchy converge.

Digamos que estamos tratando de descomponer el estado de una partícula en una suma de estados de energía. Cada estado de energía representa un componente del estado de la partícula en el “espacio de energía”. Esto se vería como la serie anterior,

[matemáticas] | \, \ psi \, \ rangle = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty a_n \, | \, \ phi_n \, \ rangle. [/ math]

Cada término en la secuencia, [matemáticas] a_i | \, \ phi_i \ rangle [/ matemáticas], contiene dos partes. [math] | \, \ phi_i \, \ rangle [/ math] es un vector unitario en “espacio de energía”.

Tu relación también se puede escribir como

[matemáticas] \ sum_n \ langle \, \ phi_n (\ mathbf {x}) \, | \, \ phi_n (\ mathbf {r}) \ rangle = \ delta ^ 3 (\ mathbf {x} – \ mathbf {r}). [/ math]

donde [math] \ phi_n (\ mathbf {r}) [/ math] representa la partícula que se mide en el estado de energía [math] \ phi_n [/ math] en la posición [math] \ mathbf {r} [/ math].

Esta relación sugiere que si suma todas las normas de los vectores de estado que representan diferentes estados de energía en dos posiciones diferentes, obtendrá [math] \ delta ^ 3 (\ mathbf {x} – \ mathbf {r}) [/ math ], la función tridimensional delta de Dirac. Este resultado representa físicamente el hecho de que una partícula no puede estar en dos lugares a la vez. Dado que la suma de todas las normas de sus vectores de estado de energía siempre converge absolutamente, usted sabe que su espacio métrico está completo.

Answer 3

Uno de los postulados de la mecánica cuántica es que cada observable es un operador auto adjunto (también llamado Hermitiano) en el espacio de Hilbert, [math] \ mathcal {H} [/ math], de vectores de estado. Si [math] \ hat {A} [/ math] es un observable mecánico cuántico que corresponde a un observable clásico [math] A [/ math], los posibles valores medidos de [math] A [/ math] son ​​valores propios de [math ] \ hat {A} [/ math], suponiendo que [math] \ hat {A} [/ math] tiene un espectro discreto. Si los vectores de estado se denotan por [math] | \ psi> [/ math], la ecuación de valor propio para [math] \ hat {A} [/ math] es

[matemáticas] \ hat {A} | \ psi> = A | \ psi> [/ matemáticas].

Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos, son ortogonales entre sí, y un conjunto de vectores propios con el mismo valor propio abarca un subespacio de [math] \ mathcal {H} [/ math]. Al elegir una base ortonormal de cada subespacio, junto con los vectores propios normalizados, mutuamente ortogonales con valores propios distintos, es posible elegir un conjunto de vectores propios ortonormales [matemática] \ {| [/ matemática] [matemática] \ psi_ {1}> , | \ psi_ {2}>, | \ psi_ {3}>, \ ldots \} [/ math]. Este conjunto de vectores propios abarca el espacio de Hilbert, lo que significa que cualquier vector de estado puede representarse de forma exclusiva como [matemática] | \ psi> = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty c_ {n} | \ psi_n> [/ math] . Esto es lo que significa decir el conjunto ortonormal de vectores propios, [matemática] \ {| [/ matemática] [matemática] \ psi_ {1}>, | \ psi_ {2}>, | \ psi_ {3}>, \ ldots \} [/ math], está completo. Los coeficientes de expansión, [math] c_ {n} [/ math] están dados por [math] c_ {n} = <\ psi_ {n} | \ psi> [/ math], donde [math] <| > [/ math] es el producto interno en [math] \ mathcal {H} [/ math]. Por lo tanto, uno puede escribir

[matemáticas] | \ psi> = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty <\ psi_ {n} | \ psi> | \ psi_ {n}> [/ math].

Definiendo el operador de la unidad [matemáticas] I = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty | \ psi_ {n}> <\ psi_ {n} | [/ matemáticas], uno puede escribir,

[matemáticas] | \ psi> = (\ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty | \ psi_ {n}> <\ psi_ {n} |) | \ psi> = I | \ psi> [/ math]. Por lo tanto, a veces se hace referencia a

[matemática] I = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty | \ psi_ {n}> <\ psi_ {n} | [/ math] como una relación de completitud.

Answer 4

Esto es solo un truco matemático para descomponer un vector en componentes del espacio. considerar como i, j, k del espacio cartesiano. Un vector puede representarse como en el espacio cartesiano. ψ = ai + bj + ck. cuando aplicaremos | i> , nos dará el valor del vector “a” y | i> nos da la dirección. Esto es solo para un componente. de manera similar para j y k, etc. Pero para un problema de dimensión infinita, necesitamos espacio infinito, es decir, espacio de Hilbert. habrá infinitos componentes, i, j, k, l, m, n, o ……

Answer 5

En el contexto matemático, la integridad generalmente significa “cubrir algo completamente”.

Los productos internos de Eigenfunctions desaparecen. Eso significa que forman un “marco” de coordenadas, al igual que (x, y, z) triplete en el mundo de tres dimensiones. La pregunta es “¿cuánto” espacio cubre ese “marco”?

Cuando decimos que el conjunto de funciones propias está completo, significa que puede cubrir todo el espacio en el que viven las funciones propias. En su caso, ese es probablemente el espacio de Hilbert. Es decir, todos los elementos en el conjunto cubierto pueden ser el resultado de agregar múltiplos de los elementos (también conocido como combinación lineal) en el conjunto completo (que llamamos base).

(x, y, z) es un buen ejemplo de base en tres dimensiones. Cualquier triplete se puede descomponer en una combinación lineal de bases {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}. Y la rotación de esta base le dará otra base válida. En el caso del espacio de Hilbert, puedes considerarlo como una versión generalizada en dimensiones infinitas.

Answer 6

Tampoco sabía a qué se refería, pero ahora entiendo que tiene que ver con dimensiones espaciales. Sin embargo, entendí que esto era de lo que se trataba. Ya has escuchado las matemáticas y todavía no tengo ese tipo de experiencia, así que te daré mi opinión personal.

En matemáticas, están las dimensiones 1ra, 2da, 3ra, 4ta y 5ta … y puede haber más. Todos somos conscientes de la tercera y tratamos de entender cómo encajan los demás en nuestro mapa de la realidad. 3-D lleva tres coordenadas X, Y y Z. De Álgebra y Trigonometría tenemos una idea de lo que representa X e Y, pero quiero darle un giro.

Mis pensamientos son que el eje X es la “línea mundial” o el aquí y ahora … y el eje Y lleva una serie de componentes … uno de los cuales es el tiempo. Esto no significa que todo en el eje Y, que está debajo del eje X, sea pasado. Explicaré más más tarde. X e Y nos dan una coordenada bidimensional y para obtener 3-D, necesitamos el factor Z.

Z es difícil porque tiene que dar cuenta de las cosas físicas aquí y ahora. Tenemos longitud, ancho y profundidad: X, Y y Z. Pero solo percibimos la profundidad. Para tener una coordenada del eje Z, tendrá que ajustarse a una dimensión espacial particular, que es lo que hacen las partículas cuando la función de forma de onda colapsa, y esto también requiere que la estructura tenga una superficie física. El estado de energía conservado (de Z) es un vector, con una superficie física y un momento equivalente al pequeño paquete de energía. Ahora creo que esto es lo que Trig llama Tangente.

Ahora llegamos a lo que dije que explicaría: Tangente : una línea recta, esa es la posición limitante de una secante de una curva, a través de un punto fijo y un punto variable en esa curva, cuando el punto variable se acerca al punto fijo. La tangente es la superficie física y es bastante “coincidente” que si traza la tangente y la cotangente, en relación con la onda sinusoidal, parece límites físicos para dos UQuarks y un DQuark, o dos DQuarks y un UQuark. Es por eso que creo que no vemos las firmas de energía de Quarks en la onda sinusoidal de Proton o Neutron. Siempre sospeché que era el Quark extraño el responsable de mantener la estructura física de P y N dentro de una envoltura de energía específica, y el indicador de este efecto dinámico se ve en el estado de la partícula cuando alcanza 90 ° y 270 ° en su viaje. Entonces, si atribuimos Y al tiempo … ¿qué pasa con la porción que está debajo del eje X?

Debes recordar que la masa / energía avanza en el tiempo, pero es la información que se enreda con su antiparte. Esto causa las características de partícula de onda de la partícula. Dado que la superficie física no puede existir debajo de la secante de la curva, entonces la porción del eje Y, que está debajo del eje X, está en el nivel de la tabla, donde la incertidumbre y las cualidades de superposición cobran mayor importancia.

Esto se atribuye a 3-D, entonces, ¿qué pasa con 4 y 5-D? Bueno, a menudo pensamos que los aspectos tridimensionales están en el nivel superior y para comprenderlo necesitamos profundizar en los niveles atómicos y subatómicos. Es un poco más difícil representar la partícula en 3-D y 2-D parece un poco más fácil de entender. Pero, antes de ir allí, quiero hacer un par de correlaciones:

• Un rayo tiene un origen y va infinitamente en una dirección: esto es 1-Dimensional.
• Una línea va infinitamente en ambas direcciones.

Para comenzar a pensar en esto, imagino un triángulo equilátero o isosoles invertido, donde el punto es tridimensional y el punto de culminación de lo que se originó en las dimensiones superiores.

• ¿Qué pasa si la 4ta y 2da Dimensiones están entremezcladas y más pronunciadas debajo del campo de Higgs (≈10 ^ -17cm)?
• ¿Qué pasa si la 5ta y 1ra dimensiones están entremezcladas y es evidente en el punto donde terminan todas las leyes físicas, pero aún tiene disposiciones para un origen?

La sensación de que 3-D es la parte superior es una ilusión debido a que la “superficie” 4-D se acurruca sobre sí misma, por qué el tiempo está asociado con ella y va infinitamente al pasado y al futuro. La analogía utilizada para explicar el movimiento de las galaxias (la superficie de un globo), también se aplica a las partículas. Están bloqueados en la “superficie” 4-D y no hay nada físico fuera de esto … pero, es la superficie la que se expande y lleva consigo la materia predominantemente normal.

El profesor Hawking dijo “el Big Bang está justo en la punta de la nariz”, porque está en una dimensión más alta y donde se originó la expansión. El lugar donde ven los brazos espirales de esa galaxia es donde SpaceTime se está expandiendo … ¡NO HAY MATERIA OSCURA! Además, rompe las leyes que están usando para explicar lo que observamos y que ya son válidos para el comportamiento de la materia.

La tercera dimensión es el nivel más bajo y el punto de culminación en una realidad que tiene al menos 5 dimensiones, pero es difícil para algunos incorporar esto en una vista más completa. Creo que esto puede provenir de la estricta creencia de que el Universo es plano … y la parte matemática de mí dice que hay algo mal en esa ecuación.

No tengo que decirte dónde comienza la 5ª Dimensión, ¿verdad? … (pista) ≈10 ^ -36cm.