No creo que sea necesario un libro. La idea de la descomposición de Cholesky es inteligente. Pero una vez que tienes la idea, es bastante trivial. Primero, aunque vale la pena señalar que la matriz debe ser positiva definida (así como simétrica), de lo contrario tendrá números complejos en la descomposición.
Rellene un esquema de la descomposición. Es decir, escriba dos matrices triangulares, una en el triángulo inferior, todo cero, y la otra con el triángulo superior cero. Para mayor claridad, supondré que C es triangular superior. (Hay otra descomposición con C triangular inferior pero tendrías que trabajar desde la esquina opuesta).
Ahora completaremos los elementos distintos de cero fila por fila o columna por columna.
El valor superior izquierdo para C (y su transposición) debe ser sqrt (M_1,1) porque todos los demás productos que conducen a M_1,1 son cero.
Podría escribir el argumento para los otros elementos, pero es mejor que lo hagas. Cada vez que complete un valor en una fila, encontrará que solo puede ajustarse un valor positivo. La observación clave es que no necesita conocer los elementos más adelante en una fila porque se multiplican por cero en el producto, y ya conoce los elementos anteriores porque los acaba de calcular.
Pruébelo primero con una matriz de tres por tres.
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Hay una segunda pregunta sobre la intuición para generar variables aleatorias correlacionadas. El método genera variables correlacionadas normalmente distribuidas. Es posible que necesite un libro para aprender sobre la distribución normal multivariante. El punto importante es que la inversa de la matriz de covarianza se llama matriz de precisión, Sigma, y aparece en la fórmula para la función de densidad. Luego elija A para que la transformación z = A’x forme un conjunto de variables independientes (A ‘es la transposición de A).
Var (A’x) = A’SigmaA = A’C’CA donde C’C es la descomposición Choleski de Sigma. Si A’A es la descomposición de Choleski de la matriz de covarianza, A es el inverso de C y Var (Ax) es la matriz de identidad. Entonces no necesitas encontrar a Sigma.
Ahora tienes que trabajar esto a la inversa. Genere observaciones independientes a partir de una distribución normal para obtener un vector, z. Entonces x = Cz es un vector de variables normales correlacionadas. Para encontrar C necesitas invertir A. Esto se puede hacer fila por fila una vez que te das cuenta de que C y A son triangulares.