¿Cuál es la relación entre álgebra lineal y álgebra abstracta?

Answer 1

El álgebra aquí se denota para estudiar la relación de propiedades desconocidas.

Tanto el álgebra lineal como el álgebra abstracta estudian estructuras particulares dotadas de ciertas propiedades especiales. El álgebra lineal es el estudio de espacios vectoriales y, en consecuencia, matrices. Sin embargo, el álgebra abstracta también estudia el espacio vectorial y las matrices. Cuando decimos espacio vectorial, en realidad estamos diciendo un campo sobre un espacio vectorial, incidentalmente en álgebra abstracta podemos estudiar algo así como un módulo que es un anillo sobre un espacio vectorial.

Tanto en álgebra lineal como en álgebra abstracta, nos interesan los tipos de mapas que podemos usar entre estas estructuras algebraicas. En álgebra abstracta, estos son homomorfismos. En álgebra lineal, estos se llaman mapas lineales, es un operador lineal entre dos espacios vectoriales. En los términos álgebra abstracta, un mapa lineal es un módulo de homomorfismo.

En cambio, en el álgebra abstracta, los tipos de homomorfismos que buscamos pueden estar entre cualquier tipo de estructura algebraica: grupos, anillos, campos, álgebras. Simplemente estamos preservando algunas cualidades sobre la estructura entre dos espacios.

En resumen, álgebra es un término que usamos para espacios estructurados con propiedades que, cuando no están definidas, podemos investigar las propiedades entre ellas para ver cosas interesantes.

No siempre sabemos los elementos en los grupos, anillos o campos o vectores en los espacios, simplemente sabemos simplemente cómo se comportan según la forma en que los definimos, y esta es la estructura algebraica que obtenemos.

Para responder la última pregunta, si eres bueno en álgebra lineal puede no ser un indicador de ser bueno en álgebra abstracta. Diría que ambos al principio son bastante fáciles, pero a medida que avanzas, los conceptos se separan y se separan y no son iguales. El álgebra lineal se convierte en análisis funcional y el álgebra abstracta tiene áreas en teoría de representación, teoría de categoría y otras cosas. Las ideas clave del mapeo y la preservación de la estructura son las mismas, pero esto es bastante cierto en muchas áreas de las matemáticas superiores, aunque el nivel de abstracción se profundiza.

Answer 2

El álgebra es esencialmente el estudio de una estructura particular, útilmente llamada objetos algebraicos.

Lo que realmente nos interesa son conjuntos equipados con operaciones binarias (básicamente una función en dos parámetros) que satisfacen algunas condiciones simples.

Por ejemplo, los enteros forman un objeto algebraico (llamado grupo) si consideramos que la operación binaria es una suma. De manera más general, ya que podemos multiplicar enteros y agregarlos desde una estructura llamada anillo. Un anillo en el que tenemos inversas multiplicativas es un campo, como por ejemplo [math] \ mathbb {Q} [/ math].

El álgebra lineal es el estudio de un subconjunto específico de objetos algebraicos, específicamente espacios vectoriales y anillos de matrices.

La operación binaria en un espacio vectorial es la suma, pero también tienen una estructura adicional porque también tienen una forma de multiplicar por escalares.

De manera similar, las matrices cuadradas (o mapas lineales de un espacio vectorial en sí mismo) forman un anillo porque podemos sumarlos y multiplicarlos, y la multiplicación es distributiva.

Estudiamos álgebra lineal por separado (y generalmente primero) por algunas razones. En primer lugar, tiene una gran cantidad de aplicaciones, muchas personas que rara vez hacen uso de objetos alegrbaicos generales hacen uso de espacios vectoriales y matrices.

En segundo lugar, es relativamente simple y concreto, lo que le permite familiarizarse con muchas ideas que forman la base (sin juego de palabras) del álgebra.

Los mapas lineales, por ejemplo, son más generalmente un ejemplo de mapas de preservación de estructuras llamados homomorfismo (a veces solo morfismos) que son fundamentales para hacer álgebra.

Los espacios vectoriales en sí mismos son solo un tipo de módulo, que puede considerarse como un espacio vectorial sobre un anillo en lugar de un campo. Sin embargo, los módulos son mucho más complicados y, a menudo, no tienen una dimensión bien definida (ni nada que se aproxime a tal noción). El ejemplo más simple de un módulo es probablemente [math] \ mathbb {Q} [/ math] que forma el módulo [math] \ mathbb {Z} [/ math] ya que podemos agregar números racionales y multiplicarlos por enteros y aún así obtener un número racional.

También usamos los resultados del álgebra lineal dentro del contexto del álgebra más general, por lo que es importante tener una base sólida para garantizar que pueda usar este tipo de resultados y comprender la motivación detrás de algunas de sus generalizaciones a otras estructuras.

En cuanto a las áreas de la forma ‘algebraica x’, esto generalmente significa aplicar la teoría del álgebra al estudio de x. en geometría algebraica, por ejemplo, estudiamos la geometría de conjuntos nulos de polinomios (el conjunto de puntos que dan 0 cuando se aplica el polinomio). Esto puede sonar un poco vago, pero lo hace todo el tiempo sin darse cuenta, por ejemplo, puede definir un círculo unitario en el plano como el conjunto de puntos [matemática] (x, y) [/ matemática] tal que [matemática] x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0 [/ matemáticas].

Ahora los polinomios como este forman un anillo (porque podemos sumarlos y multiplicarlos juntos) para que podamos usar la teoría del álgebra para estudiarlos y sus conjuntos nulos.

En respuesta a su pregunta final, realmente depende de qué quiere decir con bueno. Si alguien es bueno en álgebra lineal, probablemente será bueno en álgebra, y si no lo es, probablemente no lo será.

Si alguien es bueno en x algebraico para algo x, entonces comprenderá muy bien el álgebra, especialmente las partes específicas, porque es esencial para su trabajo. Probablemente no serán (en general) tan buenos como alguien que solo hace álgebra, pero obviamente serán mucho mejores en la parte x.

Quizás sea importante tener en cuenta también que el estudio del álgebra a menudo incluye algunas aplicaciones específicas, por ejemplo, mi curso sobre álgebra conmutativa este año fue aproximadamente un 50% de geometría algebraica. De manera similar, mi curso sobre teoría de números algebraicos era casi todo álgebra, que luego se usaba periódicamente para mostrar resultados interesantes sobre números primos.

Answer 3

El álgebra abstracta estudia las estructuras algebraicas dentro de las matemáticas.

Cómo se definen, qué propiedades generales exhiben y cómo se hablan a sí mismos. El álgebra abstracta estudia cómo el lenguaje de las matemáticas se habla a sí mismo.

El álgebra lineal surge básicamente como un caso especial de álgebra abstracta. Con toda practicidad, el álgebra lineal estudia mapas y estructuras lineales, y en álgebra abstracta podemos definir grupos, anillos, campos, … que resumen estas relaciones.