¿Cuáles son algunos ejemplos intuitivos de un espacio vectorial que ampliarán mi comprensión?

Answer 1

Como han dicho otras respuestas, el espacio euclidiano [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es el espacio más intuitivo. Nos permite dibujar imágenes bonitas que demuestran geométricamente el significado de la suma y la multiplicación escalar.

Pero, ¿cómo intuyes otros espacios vectoriales? Puede que no tengan una interpretación geométrica obvia. La conexión más útil para mí es que cualquier espacio matemático real [math] n [/ math] -dimensional [math] V [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. * *

En primer lugar, ¿por qué es este el caso? Elija una base [matemática] v_1, \ puntos, v_n [/ matemática] para [matemática] V [/ matemática]. Cualquier vector [math] v \ en V [/ math] se puede escribir como una combinación lineal de los vectores base: [math] v = a_1v_1 + \ dots + a_nv_n [/ math] para algunos [math] a_1, \ dots, a_n \ in \ mathbb {R} [/ math]. Defina la siguiente biyección:

[matemática] T (v) = T ([/ matemática] [matemática] a_1v_1 + \ dots + a_nv_n) = (a_1, \ dots, a_n) [/ matemática]

Es decir, cualquier vector en [matemática] v \ en V [/ matemática] corresponde a un vector en [matemática] \ mathbb {R} ^ n [/ matemática] que consiste en las coordenadas de [matemática] v [/ matemática] con respeto a la base elegida, y viceversa.

Esta idea es bastante útil para el pensador visual como yo. La biyección anterior le permite asociar un espacio vectorial arbitrario de dimensión finita con el espacio euclidiano bien entendido. Puede imaginar que hay un eje para cada vector base, y el coeficiente de ese vector base es la coordenada a lo largo de ese eje.

Ahora, para un ejemplo concreto: dejemos que [math] V [/ math] sea el espacio vectorial de polinomios de grado como máximo 2. Esto puede no ser tan familiar como nos gustaría, por lo que aplicaremos nuestro isomorfismo.

Tome la base estándar para el espacio, [matemáticas] 1, x, x ^ 2 [/ matemáticas]. El polinomio [math] 2 + 3x + 5x ^ 2 [/ math] corresponde al punto [math] (2, 3, 5) \ in [/ math] [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] , para que podamos trazarlo:

Fuente de imagen

Observe cómo nuestros ejes [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] pueden pensarse en [matemática] 1 [/ matemática], [matemática] x [/ math], y [math] x ^ 2 [/ math] ejes, dando a nuestro polinomio una representación geométrica. Ahora, la adición y la escala polinomiales se pueden dibujar con imágenes. ¡Ordenado!

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* Esto también es cierto para los espacios vectoriales complejos [math] n [/ math] -dimensional y [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math], pero [math] \ mathbb {C} ^ n [/ math] es más difícil de interpretar geométricamente, por lo que me limito a espacios vectoriales reales en esta respuesta.

Answer 2

El término “espacio vectorial” a menudo, pero no siempre se toma como “dimensión finita”. Contestaré de manera más general y hablaré del espacio lineal.

La palabra clave es “lineal”. El espacio tiene propiedades que permiten definir funciones lineales en él. Es decir, f es lineal si f (a + b) = f (a) + f (b) yf (ka) = kf (a) donde k es un número y a y b son miembros del espacio. Por lo tanto, el espacio debe tener una operación de suma y una operación de multiplicación escalar.

Las propiedades de esas operaciones se parecen mucho a las propiedades de suma y multiplicación de números.

Algunos ejemplos
R ^ n, conjuntos ordenados de n números reales, (a_1, a_2, …, a_n). Puede pensar en un conjunto de este tipo como una función del conjunto (1, 2, 3, …, n) a los reales (por ejemplo, f (3) = a_3). Por supuesto, puede pensar que R ^ 3 representa el espacio euclidiano 3D.

Este ejemplo sugiere otros ejemplos, conjuntos de funciones en los números reales. Defina f + g por la regla (f + g) (x) = f (x) + g (x) y kf por kf (x) = f (kx). Esto conduce a una variedad de espacios dependiendo de las restricciones que imponemos a las funciones, por ejemplo, continua, diferenciable, acotada. Tenga en cuenta que el espacio consta de funciones: las funciones son los miembros del espacio, no las funciones lineales como se discutió en mi segundo párrafo.

Answer 3

Los espacios vectoriales son bastante abstractos y pueden incluir muchas cosas. El ejemplo más intuitivo de un espacio vectorial es probablemente el espacio euclidiano, que es desde donde generalmente se extiende la noción abstracta. Un espacio vectorial euclidiano está formado por segmentos de línea dirigida llamados vectores que generalmente se escriben como matrices de números que dan el punto final del vector (tenga en cuenta que los vectores no tienen un concepto de traducción, es decir, todos pueden considerarse que comienzan en el origen). Estos vectores se pueden escalar y se pueden sumar y restar para dar otros vectores. De importancia primordial es que los espacios vectoriales están cerrados bajo combinaciones lineales (mezclas de escalado y suma de la forma a x + b y ), es decir, no puede sumar dos vectores que pertenecen a su espacio vectorial y obtener un vector en otro espacio vectorial.

Antes de pasar a otros espacios vectoriales, veamos más de cerca algunas de las propiedades del espacio euclidiano. Normalmente pensamos que el espacio euclidiano es tridimensional, pero también podemos ver el espacio bidimensional, unidimensional o cuatridimensional si lo deseamos. Observe cómo cualquiera de los dos vectores agregados en el plano xy dará otro vector en el plano xy y nunca un vector con un componente z distinto de cero, lo que demuestra la suposición de cierre. Del mismo modo, no puede salir del eje x unidimensional agregando más vectores en este mismo eje (es decir, si conduce a lo largo del eje x , no puede cambiar su dirección aumentando su velocidad x ). De suma importancia es que cualquier vector en un espacio vectorial n- dimensional puede descomponerse en una combinación lineal de cualquier n vectores linealmente independientes en ese espacio. Entonces, dado solo el vector unitario xy el vector unitario y, por ejemplo, puede escribir cualquier otro vector en el plano xy simplemente escalando y agregando estos dos vectores (sin embargo, no puede hacerlo usando el vector unitario x y algunos escalados versión de la misma).

Los vectores euclidianos son agradables, pero hay muchas características y teoremas agradables sobre los espacios vectoriales que harían útil poder aplicarlos en más situaciones. Ahí es donde entra en juego la noción abstracta de un espacio vectorial. De hecho, ya he introducido dos segmentos de línea de ejemplo en el espacio euclidiano y series ordenadas de números. El hecho de que podamos usar los dos indistintamente es un ejemplo fácil de pasar por alto de una propiedad muy importante en el álgebra lineal: cualquiera de los dos espacios vectoriales con la misma dimensión son isomorfos. En otras palabras, para todos los efectos, todos los espacios vectoriales n -dimensionales son en realidad representaciones diferentes del mismo espacio vectorial. Aunque parezca trivial aquí, esta propiedad es de fundamental importancia en la mecánica cuántica, donde la mecánica matricial y la mecánica de ondas pueden ser equivalentes dado que ambas tienen lugar en un espacio vectorial.

Entonces, hablando de mecánica cuántica, veamos un par de espacios vectoriales más abstractos. Si has tomado cálculo, entonces debes estar familiarizado con el concepto de una serie de Taylor. Básicamente, una serie de Taylor le permite escribir un cierto conjunto de funciones como una suma polinómica infinita. ¿Pero adivina que? ¡El conjunto de todos los polinomios de orden n constituye un espacio vectorial! Considere, por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios de segundo orden. Cualquiera de estos polinomios se puede escribir como una combinación lineal de los vectores base 1, x y [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] (o de, digamos, 1, 1+ x , y [matemáticas] 2x ^ 2-x [/matemáticas]). Si quisiéramos, podemos hacer un polinomio a una matriz usando los coeficientes de los términos polinomiales. Es posible que un polinomio no se parezca en nada a los segmentos de línea dirigida en los que generalmente se introducen los vectores, pero al tratar de visualizarlos de esa manera se pierde el punto de abstracción, que es que todos los Teoremas y propiedades útiles de los vectores que no tienen nada que ver con ellos se dirigen los segmentos de línea se pueden usar con objetos matemáticos que no son segmentos de línea dirigidos (por ejemplo, las propiedades ya utilizadas de que todos los espacios vectoriales de dimensión n tienen una base n- dimensional y cualquier vector se puede escribir como una combinación lineal de estos vectores base) . Tomar el conjunto de todos los polinomios posibles le brinda un espacio vectorial de dimensiones infinitas (más específicamente, un espacio vectorial infinitamente contable) que trae consigo muchas características interesantes.

Finalmente, considere el conjunto de todas las combinaciones lineales de [math] sin (nx) [/ math] para todos los enteros n . ¿Adivina qué? ¡Este conjunto es un espacio vectorial! Este es en realidad un espacio vectorial infinito, ya que todos estos vectores base son linealmente independientes. Además, una vez que introduce el concepto de un producto interno (en el espacio euclidiano, este es simplemente el producto de punto; aquí podríamos restringir nuestras funciones en el dominio [0,1] y tomar el producto interno como parte integral del producto del dos vectores en cuestión en este dominio), puede mostrar que estos vectores básicos también son ortogonales. Este espacio vectorial es particularmente importante en la mecánica cuántica donde la solución a problemas como la Partícula en una caja es una combinación lineal de estos vectores básicos (es decir, la solución es un vector en este espacio vectorial).

Answer 4

Estudie álgebra lineal. 🙂

Los vectores euclidianos son un ejemplo de un espacio vectorial. Representan cantidades físicas como las fuerzas: se pueden sumar dos fuerzas (del mismo tipo) para producir una tercera, y la multiplicación de un vector de fuerza por un multiplicador real es otro vector de fuerza. En la misma línea, pero en un sentido más geométrico, los vectores que representan desplazamientos en el plano o en el espacio tridimensional también forman espacios vectoriales. Los vectores en espacios vectoriales no necesariamente tienen que ser objetos en forma de flecha como aparecen en los ejemplos mencionados: los vectores se consideran objetos matemáticos abstractos con propiedades particulares, que en algunos casos se pueden visualizar como flechas.

Espacio vectorial

Álgebra lineal

Base (álgebra lineal)

Answer 5

Los ejemplos más simples de espacios vectoriales a los que la mayoría de las personas están acostumbrados son los espacios reales n dimensionales [matemática] R ^ n [/ matemática]. En particular, la mayoría de las ideas básicas pueden entenderse mirando [matemáticas] R [/ matemáticas], [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] R ^ 3 [/ matemáticas].

Una vez que se entienden las ideas básicas, podemos tratar de desafiar a la mente con construcciones más ‘abstractas’, como los n espacios complejos dimensionales C ^ n y también algunos espacios dimensionales infinitos, como las secuencias reales infinitas [matemáticas] \ {(…, a_ {-1}, a_0, a_1, …) \} [/ math] donde a_i es un número real. Otros ejemplos incluyen los espacios de matrices, espacios de funciones y polinomios, etc. ¡Intentar extender las ideas de R ^ n a estos espacios es muy revelador!