¿Qué es un espacio nulo en álgebra lineal?

Answer 1

1. Experimento

Prueba esto. Usa la punta de tu dedo para proyectar una sombra sobre tu escritorio. Si no hay sombra, salga al sol o encienda una luz cenital. (El sol es ideal. Necesitas una sombra clara).

Puede mover la punta del dedo en 3 direcciones, pero su sombra solo puede moverse en 2 direcciones. ¿Ver? Realmente haz esto por un tiempo. Estás proyectando una sombra sobre el escritorio.

Ahora encuentre el espacio nulo de su proyección experimentalmente. No se permiten matemáticas. Aquí se explica cómo reconocer un espacio nulo: cuando mueve el dedo dentro del espacio nulo (que aquí es solo unidimensional), la yema del dedo transformada (sombra) no se moverá. Puede marcar el lugar con una moneda o algo para asegurarse de que no se mueva.

Pongo este mismo ejemplo en notación matricial a continuación. Es la punta del dedo y la sombra nuevamente, con el sol directamente sobre la cabeza (a lo largo de la dirección cambiante [matemática] v_3 [/ matemática]).

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2. Teoría

Deje que el vector [math] v = \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {bmatrix} [/ math] sea la posición de su dedo en el espacio.

Deje que [math] Av [/ math] sea la sombra de su dedo en el escritorio.

Describa una proyección por [math] A = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}. [/ Math]

El vector de la yema del dedo [math] v [/ math] tiene 3 grados de libertad [math] v_1 [/ math], [math] v_2 [/ math] y [math] v_3 [/ math].

Pero el vector sombra A [matemática] v = [/ matemática] [matemática] \ begin {bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math] tiene solo dos grados de libertad [matemática] v_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 [/ matemáticas].

(Compruebe que multipliqué [matemática] A [/ matemática] por [matemática] v [/ matemática] correctamente).

El espacio nulo [matemática] N [/ matemática] de [matemática] A [/ matemática] se extiende por la matriz [matemática] 3 \ veces 1 [/ matemática] N = [matemática] \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}. [/ Math] En otras palabras, el espacio nulo es el conjunto [math] \ left \ {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ v_3 \ end {bmatrix}, \ forall v_3 \ right \} [/ math].

Verifique eso: ¿[math] AN = \ mathbf {0} [/ math] [math], [/ math] the [math] 3 \ times 1 [/ math] zero matrix?

Entonces [math] v_1 [/ math] y [math] v_2 [/ math] son ​​las coordenadas de la sombra en el escritorio. El tercer componente [math] v_3 [/ math] te dice la distancia entre la punta de tu dedo y su sombra.

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3. Trabajo adicional

¡Prima! Narra este experimento por teléfono. Siga midiendo [matemáticas] v_3 [/ matemáticas], la distancia entre la punta del dedo y la sombra, y diciendo ese número en el teléfono, una y otra vez. No diga nada sobre [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] o [matemáticas] v_2 [/ matemáticas].

La persona en el otro extremo del teléfono está recibiendo una proyección unidimensional de la ubicación de la punta de su dedo. Esa proyección tiene un espacio nulo bidimensional. Intente modificar las matemáticas anteriores para que describa esta “proyección telefónica”. ¿Qué es [math] Av [/ math]? Entonces, a partir de ahí, ¿qué es [matemáticas] A [/ matemáticas]? ¿Cuál es el espacio nulo de esta transformación? Es decir, ¿de qué maneras puede mover el dedo sin que la persona del otro lado del teléfono se dé cuenta?

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4. Solicitud

Si solo vemos una proyección del mundo real, como afirmó el filósofo Platón, entonces los monstruos podrían estar acercándose sigilosamente dentro del espacio nulo de esa proyección y nunca los verías venir.

Fuente: Cthulhu

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Gracias a Natalia Nezvanova por corregir un error en mi notación para el espacio nulo en la sección 2.

Answer 2

Antes de ir al espacio nulo, déjenme describir sobre el subespacio. oh espera antes de eso déjame contarte sobre el espacio vectorial. Entonces, déjame comenzar:

Espacio vectorial: generalmente describimos el espacio vectorial en alguna dimensión Rn. Son todos los vectores en Rn. Nota: el origen está incluido

Subespacio : este es un espacio más pequeño en el espacio vectorial. Déjame tomar un ejemplo para explicarlo. Déjame tomar el espacio vectorial en la quinta dimensión (R5),
(i) C [1,2,3,4,5] T, donde C está en R: es un subespacio en R5 (geométricamente es una línea que pasa por [1,2,3,4,5] T en R5)
(ii) C1 [1,0,0,1,0] T + C2 [1,1,1,0,1] T, donde C1, C2 están en R: es un subespacio en R5 (geométricamente es un plano que contiene [1,0,0,1,0] T, [1,1,1,0,1] T en R5)
un mal ejemplo
[1,0,0,0,0] T + C1 [1,2,3,4,5] T: Esto no es un subespacio porque no contiene vector cero.

etc. (si cuenta el número de vectores, se llama dimensión )

¡Oh, espera a donde voy! Ahora déjame responder la pregunta (ahora es realmente simple).

Permítanme considerar el problema central en álgebra lineal, Resolver para X, AX = b, comprendamos qué sucede cuando b = 0 vector (es decir, AX = 0). Cuando resuelves AX = 0, obtenemos algunos vectores para X.
Espacio nulo de A: N (A) es un subespacio que abarca todas las soluciones independientes de la ecuación anterior (AX = 0)

El ejemplo siempre ayuda,

sea ​​A: [[1,2,3], [2,3,5]] (matriz de 2 por 3), entonces X = [x1, x2, x3] T,

AX = 0
X = C [1,1, -1] T es el espacio de solución completo, que es un subespacio (una línea en R3 que pasa por el origen). Entonces, para la matriz A, el espacio nulo es C [1,1, -1] T.

Eso es todo lo que ahora comprende el espacio vectorial, el subespacio, el espacio nulo de A, también puede comprender el espacio de columna de A , el espacio de fila de A fácilmente.

T: indica transposición

Answer 3

El espacio nulo de una matriz es el conjunto de vectores linealmente independientes v no iguales a 0, de modo que esta condición se cumple:

Av = 0, donde 0 es el vector cero. Este conjunto de vectores generalmente se conoce como el núcleo de la matriz y todo lo que no está en el núcleo se dice que está en la imagen de A.

0 es una solución demasiado trivial para Av = 0 que ni siquiera pensamos en ello

Answer 4

Deje que [math] \ displaystyle {V, W} [/ math] sean espacios vectoriales sobre el campo [math] \ displaystyle {\ mathbb {K}} [/ math]. Deje que [math] \ displaystyle {f: V \ longrightarrow W} [/ math] tal que: [math] \ displaystyle {v \ mapsto w = f (v)} [/ math] es un mapa lineal. Establezca [math] \ displaystyle {\ mathrm {Ker} (f) = \ left \ {v \ en V | f (v) = 0_w \ in W \ right \}} [/ math] se llama espacio nulo del mapa [math] \ displaystyle {f} [/ math], donde [math] \ displaystyle {0_w} [/ math ] denota el elemento cero del espacio [math] \ displaystyle {W} [/ math].

Si [math] \ displaystyle {V = W} [/ math], el mapa lineal [math] \ displaystyle {f} [/ math] se llama operador lineal en [math] \ displaystyle {V} [/ math]. Para un operador lineal dado [math] \ displaystyle {f} [/ math], una vez puede encontrar un vector distinto de cero [math] \ displaystyle {v \ in V} [/ math] y un número escalar [math] \ displaystyle {\ lambda \ in \ mathbb {K}} [/ math] tal que [math] \ displaystyle {f (v) = \ lambda v} [/ math], [math] \ displaystyle {\ lambda} [/ math] se llama un valor propio del operador [math] \ displaystyle {f} [/ math] y [math] \ displaystyle {v} [/ math] es un vector propio de acuerdo con [math] \ displaystyle {\ lambda} [/ math].

Dado un valor propio [math] \ displaystyle {\ lambda} [/ math] del operador de línea [math] \ displaystyle {} [/ math]. Se puede demostrar que [matemáticas] \ displaystyle {V _ {\ lambda} = \ left \ {v \ en V | f (v) = \ lambda v \ right \}} [/ math] es un subespacio invariante de [math] \ displaystyle {V} [/ math] con respecto al operador lineal [math] \ displaystyle {f} [/ math ] Aparentemente, con [math] \ displaystyle {\ lambda = 0}, [/ math] [math] \ displaystyle {V_0 = \ mathrm {Ker} (f)} [/ math].

Answer 5

Describe cuánto no sabe acerca de las variables en un sistema lineal. Cuanto más grande es, menos sabes.

Considere Ax = b para una matriz fija A y un vector fijo b. El vector de incógnitas es x, pero el sistema lineal le brinda información sobre x. Siempre que exista una solución x = x_0, entonces cada solución tiene la forma x = x_0 + z, donde z es un miembro del espacio nulo, es decir, z satisface Az = 0. El espacio nulo resulta ser un ejemplo de un subespacio, que es simplemente un discurso elegante para una línea o plano generalizado que pasa por el origen. Para resumir, el conjunto de soluciones para Ax = b es una versión desplazada del espacio nulo. Cuantas más dimensiones haya en el espacio nulo, mayor será el espacio nulo, y cuanto mayor sea el conjunto de soluciones, es decir, menos sabe acerca de x.

Answer 6

El espacio nulo de una matriz o, más generalmente, de un mapa lineal, es el conjunto de elementos que mapea al vector cero. Esto es similar a perder información, como si hubiera más vectores que el vector cero (que trivialmente hace esto) en el espacio nulo, entonces el mapa no puede invertirse.