Supongo que puedo entender tu frustración, puede parecer que hay un montón de axiomas arbitrarios que solo debes mezclar y que debes recordar. Sin embargo, pueden ser mucho más fáciles de tener en cuenta si está familiarizado con otras estructuras algebraicas, para que pueda ver cómo encajan todas.
Entonces, con eso en mente, voy a presentar la noción de un grupo . Un grupo es un conjunto [matemático] G [/ matemático] con una operación asociativa [matemática] \ cdot [/ matemático], que satisface las siguientes propiedades:
1.) Existe un elemento [math] id [/ math] en [math] G [/ math] cuya identidad , es decir, [math] id \ cdot g = g \ cdot id = g [/ math] para cualquier elemento [math] g [/ math] en [math] G [/ math].
2.) Cada elemento [math] g [/ math] de [math] G [/ math] tiene un inverso , es decir, un elemento [math] g ^ {- 1} [/ math] tal que [math] gg ^ {- 1} = g ^ {- 1} g = id [/ matemáticas].
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Un ejemplo de un grupo son los enteros con suma como operación, [matemática] 0 [/ matemática] como identidad, [matemática] -x [/ matemática] es la inversa de [matemática] x [/ matemática]. Otro ejemplo es el conjunto de matrices reales de 2 por 2 con el determinante 1, con la multiplicación de matrices como operación, [math] \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] como identidad , y [math] \ begin {pmatrix} d & -b \\ -c & a \ end {pmatrix} [/ math] el inverso de [math] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} [/ math].
Observe que en el segundo ejemplo, la operación no es conmutativa, ya que
[matemática] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]
no es igual a
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 y 1 \\ 1 y 2 \ end {pmatrix} [/ math].
Si la operación es conmutativa (es decir, [math] g \ cdot h = h \ cdot g [/ math] para cualquier elección de [math] g [/ math] y [math] h [/ math] en [math] G [/ math]), decimos que el grupo es abeliano . Por lo general, luego escribimos [matemáticas] + [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] \ cdot [/ matemáticas], y [matemáticas] 0 [/ matemáticas] en lugar de [matemáticas] id [/ matemáticas] (imitando el caso cuando nuestro grupo son los enteros).
Conmigo hasta ahora? Bien, entonces volvamos a los espacios vectoriales.
Escalares y Campos
Un espacio vectorial es una configuración en la que podemos hablar sobre tomar combinaciones lineales de cosas, como [math] c_1 \ vec {v} + c_2 \ vec {w} [/ math]. Sin embargo, para discutir eso, primero tenemos que entender cuáles son los escalares [matemáticas] c_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] c_2 [/ matemáticas]. En una clase introductoria, no es inusual usar solo los números reales o complejos como escalares, y terminar de una vez. Si ese es el caso, no dude en pasar a la siguiente sección. Si no, y has visto la palabra “campo” arrojada, sigue leyendo.
¿Qué propiedades nos gustaría que tengan nuestros escalares? Bueno, deberíamos poder agregarlos y multiplicarlos. También nos gustaría poder restarlos y multiplicarlos. Finalmente, de acuerdo con el ejemplo de los números reales y complejos, nos gustaría que la multiplicación se distribuya sobre la suma. Para capturar todo esto, presentamos la noción de campo .
Un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] es un conjunto con dos operaciones, [math] + [/ math] y [math] \ cdot [/ math], junto con elementos distintos [math] 0 [/ matemática] y [matemática] 1 [/ matemática] tal que:
1.) [math] \ mathbb {F} [/ math] es un grupo abeliano, con [math] + [/ math] como operación y [math] 0 [/ math] como identidad.
2.) [math] \ mathbb {F} – \ {0 \} [/ math] es un grupo abeliano, con [math] \ cdot [/ math] como operación y [math] 1 [/ math] como identidad.
3.) La multiplicación se distribuye sobre la suma, es decir, [matemática] x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z [/ math].
Eso es. Si desempaqueta lo que significa ser un grupo abeliano, verá que estas son exactamente las propiedades exigidas de un campo.
Espacios vectoriales sobre campos
Ahora, suponga que ha arreglado un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] (si se siente más cómodo, cada vez que escriba [math] \ mathbb {F} [/ math] imagine que en su lugar escribí el verdadero o números complejos: el efecto será básicamente el mismo). Queremos considerar combinaciones lineales de cosas, donde los elementos del campo juegan el papel de escalares.
Bueno, para darle sentido a una expresión como [math] c_1 \ vec {v} + c_2 \ vec {w} [/ math], primero necesitaremos tener una noción de adición de vectores, por ejemplo, tiene que dar sentido a una expresión como [math] \ vec {v} + \ vec {w} [/ math]. Sin embargo, ya sabemos cómo hacerlo, solo pediremos que nuestros vectores tengan una operación [math] + [/ math] en ellos con la que formarán un grupo abeliano.
A continuación, tenemos que introducir una multiplicación escalar, que denotaré por [math] \ cdot [/ math] (me doy cuenta de que hay un gran abuso de notación aquí; sin embargo, generalmente es evidente por el contexto lo que es significaba). Esta es una forma de multiplicar vectores por escalares. Nos gustaría que la multiplicación escalar se comportara bien.
En primer lugar, esto sería una tontería si no tuviéramos que [math] 1 \ cdot \ vec {v} = \ vec {v} [/ math]. Además, nos gustaría que la multiplicación escalar se comportara bien con respecto a la multiplicación en el campo [math] \ mathbb {F} [/ math], es decir, [math] c_1 \ cdot (c_2 \ vec {v}) = ( c_1 c_2) \ vec {v} [/ math]. También nos gustaría que la multiplicación escalar se comportara bien con respecto a la suma en el campo, es decir, [matemáticas] (c_1 + c_2) \ cdot \ vec {v} = c_1 \ cdot \ vec {v} + c_2 \ cdot \ vec {v} [/ math]. Finalmente, nos gustaría que la multiplicación escalar se comportara bien con respecto a la adición de los vectores, es decir, [matemáticas] c \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = c \ cdot \ vec {v} + c \ cdot \ vec {w} [/ math]. Ahora, para resumir:
Un campo vectorial [math] V [/ math] sobre un campo [math] \ mathbb {F} [/ math] es un grupo abeliano, junto con una multiplicación escalar [math] \ cdot [/ math] tal que
1.) [math] 1 \ cdot \ vec {v} = \ vec {v} [/ math] para cualquier [math] \ vec {v} [/ math] en [math] V [/ math].
2.) [math] c_1 \ cdot (c_2 \ vec {v}) = (c_1 c_2) \ vec {v} [/ math] para cualquier [math] c_1, c_2 [/ math] en [math] \ mathbb { F} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] en [math] V [/ math],
3.) [matemáticas] (c_1 + c_2) \ cdot \ vec {v} = c_1 \ cdot \ vec {v} + c_2 \ cdot \ vec {v} [/ math] para cualquier [math] c_1, c_2 [/ math] en [math] \ mathbb {F} [/ math] y [math] \ vec {v} [/ math] en [math] V [/ math], y
4.) [math] c \ cdot (\ vec {v} + \ vec {w}) = c \ cdot \ vec {v} + c \ cdot \ vec {w} [/ math] para cualquier [math] c [/ math] en [math] \ mathbb {F} [/ math] y [math] \ vec {v}, \ vec {w} [/ math] en [math] V [/ math].