Bueno, las matrices tienen otras diagonales, ¿verdad? Hay diagonales paralelas a la diagonal principal, que contienen menos entradas. Como el que está en negrita:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y \ mathbf {2} y 3 \\ 4 y 5 y \ mathbf {6} \\ 7 y 8 y 9 \ end {pmatrix}. [/ math]
Luego están estas diagonales. La diagonal que contiene las entradas en negrita se llama diagonal oblicua principal :
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 y 2 y \ mathbf {3} \\ 4 y \ mathbf {5} y 6 \\ \ mathbf {7} y 8 y 9 \ end {pmatrix} [/ math]
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Sin embargo, las entradas de la diagonal principal son:
[matemática] \ begin {pmatrix} \ mathbf {1} & 2 & 3 \\ 4 & \ mathbf {5} & 6 \\ 7 & 8 & \ mathbf {9} \ end {pmatrix} [/ math]
¿Por qué es esta la diagonal principal ? Simplemente porque la diagonal principal es, con mucho, la más útil y la más importante. El concepto de diagonalización matricial por sí solo debería ser suficiente, ya que es tan ridículamente importante.
Debe notarse que las matrices diagonales [math] n \ times n [/ math] en realidad forman una sustitución del anillo de matrices [math] n \ times n [/ math]. Además, en este subring, la multiplicación de matrices es conmutativa. Esto no es cierto para ninguna otra diagonal, a menos que defina un operador de multiplicación diferente para ellos.
Como comentario aparte, estaba leyendo (y votando) una de las respuestas de Senia Sheydvasser hoy: ¿Qué impide la extensión de números complejos al espacio euclidiano tridimensional? En un momento, definió el conjunto de tuplas [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] de números reales, con las definiciones habituales de suma y multiplicación por números reales. Esto es en realidad isomorfo al anillo de [math] 3 \ times 3 [/ math] matrices diagonales que tienen entradas diagonales reales, con la adición y multiplicación de matrices habituales. Esto significa que
[matemáticas] (x_1, y_1, z_1) + (x_2, y_2, z_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) [/ matemáticas]
y
[matemáticas] (x_1, y_1, z_1) \ cdot (x_2, y_2, z_2) = (x_1x_2, y_1y_2, z_1z_2) [/ matemáticas]
corresponden perfectamente a
[matemáticas] \ begin {pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_1 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} x_1 + x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1 + y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1 + z_2 \ end {pmatrix} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ begin {pmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_1 & 0 \\ 0 & 0 & z_1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_2 & 0 \ \ 0 & 0 & z_2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} x_1x_2 & 0 & 0 \\ 0 & y_1y_2 & 0 \\ 0 & 0 & z_1z_2 \ end {pmatrix} [/ math]
El inverso multiplicativo de 3-tuplas, si existe, es igual al inverso de la matriz diagonal correspondiente también.
De todos modos, el punto de todo esto es mostrar que esto no hubiera sido posible si los números se escribieran en la diagonal oblicua principal. Eso proporciona una motivación lo suficientemente buena como para definir la diagonal principal de la manera en que lo hacemos.