Cómo probar una matriz con dos bloques ortogonales no singulares

Answer 1

Aquí hay un boceto. (Realicé un cambio en la declaración del problema).

1. [math] A [/ math] tiene [math] m [/ math] filas y [math] n [/ math] columnas, con [math] m <n [/ math]. [math] A [/ math] tiene rango [math] m [/ math], por lo que sus filas [math] m [/ math] forman un conjunto de vectores linealmente independientes de longitud n.

2. [math] Z [/ math] tiene [math] n [/ math] filas y [math] nm [/ math] columnas. Si [math] B [/ math] tuviera rango [math] nm [/ math] *, entonces sus columnas [math] nm [/ math] formarían un conjunto linealmente independiente de vectores de longitud n.

3. [math] AZ [/ math] contiene los productos internos de las filas [math] m [/ math] de [math] A [/ math] con las columnas [math] mn [/ math] de [math] Z [/matemáticas]. Si cada entrada de [math] AZ [/ math] es cero, entonces cada fila de [math] A [/ math] es ortogonal a cada columna de [math] Z. [/ Math] En ese caso, la [math] m [/ math] filas de A, combinadas con las columnas [math] nm [/ math] de [math] Z, [/ math] forman un conjunto linealmente independiente de [math] m + nm = n [/ math] vectores

4. Cuando organizamos todo el conjunto linealmente independiente de vectores [math] n [/ math] del # 3 anterior como filas de [math] \ begin {bmatrix} A \\ Z ^ T \ end {bmatrix} [/ math] , tenemos una nueva matriz [math] n \ times n [/ math] con [math] n [/ math] filas linealmente independientes. Entonces no es singular.

—————————————————————————–

* ¿Podría ser esto una corrección al enunciado del problema? [math] B [/ math] no puede tener un rango mayor que su recuento de columnas, [math] nm [/ math].

Answer 2

Teorema 1: [matemáticas] \ textrm {rango} (A) = \ textrm {rango} (A ^ {\ top}) [/ matemáticas]

Teorema 2: [matemáticas] \ textrm {rango} (A) = \ textrm {rango} (A ^ {\ top} A) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {rango} \ left (\ begin {bmatrix} A \\ Z ^ {\ top} \ end {bmatrix} \ right) = \ textrm {rank} \ left (\ begin {bmatrix} A \\ Z ^ {\ top} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} A ^ {\ top} & Z \ end {bmatrix} \ right) = \ textrm {rank} \ left (\ begin {bmatrix} AA ^ {\ top} & AZ \\ (AZ) ^ {\ top} & Z ^ {\ top} Z \ end {bmatrix} \ right) [/ math]

[math] = \ textrm {rank} \ left (\ begin {bmatrix} AA ^ {\ top} & 0 \\ 0 & Z ^ {\ top} Z \ end {bmatrix} \ right) = \ textrm {rank} \ left (\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & Z ^ {\ top} \ end {bmatrix} \ right) = n [/ math]

Answer 3

Gracias por el A2A.

Sí, eso es verdad. (Probablemente quiere decir que [math] \ operatorname {rank} Z = nm.) [/ Math]

Deje que [math] S = Z ^ {T} [/ math] y [math] V, W \ subset \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] sean los espacios vectoriales que abarcan las filas de [math] A [ / math] y [math] S [/ math], respectivamente.

Las condiciones en los rangos significan que [matemática] \ dim V = m [/ matemática] y [matemática] \ dim W = nm. [/ Matemática]

La condición [math] AS ^ {T} = \ mathbf {0} [/ math] significa que cualquier fila de [math] A [/ math] es ortogonal a todas las filas de [math] S [/ math]. Implica que los subpaces lineales [matemática] V [/ matemática] y [matemática] W [/ matemática] son ​​ortogonales entre sí.

Lo único que queda por ver es [math] V + W = \ mathbb {R} ^ {n} [/ math].

Implicará que las filas de [math] A [/ math] y [math] S [/ math] abarcan el espacio dimensional [math] n [/ math] y, por lo tanto, [math] A [/ math] no es -singular.

Pero esto es bastante obvio y vale para cualquier subespacio ortogonal de un espacio vectorial de dimensiones complementarias. Deje que [math] (f_1, f_2, \ ldots f_m [/ math]) sea una base de [math] V [/ math] y [math] (g_1, g_2, \ ldots g_ {nm}) [/ math] ser una base de [matemáticas] W. [/ matemáticas]

Deje que [math] x = \ lambda_1 f_1 + \ lambda_2 f_2 + \ ldots + \ lambda_m f_m [/ math] y [math] y = \ mu_1 g_1 + \ mu_2 g_2 + \ ldots + \ mu_ {nm} g_ {nm} [/ math], [math] \ lambda_i, \ mu_j \ in \ mathbb {R} [/ math].

Suponga que [math] x + y = \ mathbf {0} [/ math]. Entonces [matemáticas] (x + y). (x + y) = xx +2 (xy) + yy = 0. [/ matemática]

Como [math] x \ en V [/ math] y [math] y \ en W [/ math] son ​​ortogonales, [math] xy = 0 [/ math]. El producto punto de un vector en sí mismo no es negativo, no se degenera, por lo tanto, tenemos [matemática] xx = 0 [/ matemática] y [matemática] yy = 0 [/ matemática] y, por lo tanto, [matemática] x = y = \ mathbf {0 }[/matemáticas]. Dado que [math] \ {f_i \} [/ math] y [math] \ {g_j \} [/ math] son ​​bases, concluimos que [math] \ lambda_1 = \ lambda_2 = \ ldots = \ lambda _m = \ mu_1 = \ mu_2 \ ldots = \ mu_ {nm} = 0. [/ math]

De este modo, todos los vectores [math] f_1, f_2, \ ldots, f_m, g_1, g_2, \ ldots, g_ {nm} [/ math] son ​​linealmente independientes y, por lo tanto, abarcan [math] \ mathbb {R} ^ {n} [/ matemáticas].

Concluimos que la matriz de bloque cuadrado tiene rango completo y, por lo tanto, no es singular. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]