¿Qué significa exactamente tener un espacio vectorial sobre un campo?

Answer 1

Un espacio vectorial es una combinación de dos conjuntos de objetos, “vectores” y “escalares”, que siguen los siguientes axiomas:

Hay una regla para agregar vectores (x, y, z) que satisface

• conmutatividad ([matemáticas] x + y = y + x) [/ matemáticas],
• asociatividad: [matemáticas] (x + y) + z = x + (y + z) [/ matemáticas]
• identidad aditiva: algún vector 0 tal que [matemática] 0 + x = x +0 = x [/ matemática]
• inverso aditivo: para cualquier vector x, hay un -x tal que [matemática] x + (-x) = 0 [/ matemática]

También hay una regla para multiplicar un vector por un escalar (s, r) que satisfaga:

• asociatividad: [matemáticas] r (sx) = (rs) x [/ matemáticas]
• distributividad: [matemática] (r + s) x = rx + sx [/ matemática] y [matemática] r (x + y) = rx + ry [/ matemática]
• identidad de multiplicación escalar, alguna 1 tal que [matemática] 1x = x [/ matemática]

Es habitual que los “escalares” provengan de un campo, que es una estructura matemática que tiene suma, resta, multiplicación y división (por elementos distintos de cero, técnicamente “inversos multiplicativos”), al igual que los números reales. De hecho, la opción más común son los números reales.

Entonces, cuando piensa en el espacio vectorial “normal” que consiste en tuplas de valor real, es un espacio vectorial sobre el campo [matemático] \ R [/ matemático], definido por las reglas [matemático] rX = (rx_1, rx_2, …, Rx_n) [/ math] y adición de componentes.

Pero también podemos construir un espacio vectorial “sobre el campo” [matemática] \ C [/ matemática], los números complejos, o sobre el campo [matemática] \ Q [/ matemática] de números racionales, o cualquier extensión de campo de [matemáticas] \ Q [/ matemáticas], exactamente de la misma manera. “sobre el campo F” solo significa “usamos el campo F como nuestros escalares”.

También puede mezclarlo y elegir las tuplas para que sean elementos de [math] \ C [/ math] y los escalares como [math] \ R [/ math]. Entonces tiene un espacio vectorial sobre el campo [matemática] \ R [/ matemática]. (No funciona al revés).

También podemos construir un espacio vectorial sobre tuplas de elementos de un campo finito. Digamos que solo tenemos los números 0 y 1, con las reglas de multiplicación normales y la propiedad de que 1 + 1 = 0. (Este es el campo [math] \ Z_2. [/ Math]) Los axiomas del espacio vectorial se satisfacen usando [ matemáticas] \ {0,1 \} [/ matemáticas] como el conjunto de escalares, y las tuplas de ceros y unos como los vectores.

Sin embargo, no todos los espacios vectoriales son tuplas. Las funciones de un campo en sí mismo también forman un espacio vectorial, bajo las reglas [matemáticas] (sx) (a) = s \ cdot x (a) [/ matemáticas] y [matemáticas] (x + y) (a) = x (a) + y (a) [/ matemáticas]. Es decir, la suma componente y la multiplicación normal.

Por lo general, los vectores tienen que tener * alguna * relación con los escalares (el campo) para definir correctamente la multiplicación escalar. Un ejemplo trivial de un espacio vectorial es uno que tiene solo el vector cero, en el que podemos elegir cualquier campo para los escalares (pero, un campo por definición tiene un elemento cero).

Una generalización en la que los escalares provienen de un anillo, en lugar de un campo, se llama “módulo”. Un anillo carece de inversos multiplicativos. Por ejemplo, un módulo podría estar sobre los enteros, o sobre el anillo de polinomios con coeficientes enteros.

Answer 2

Esto es muy simple o muy difícil de responder.

La respuesta simple es que, cuando tiene un espacio vectorial sobre un campo, tiene un montón de objetos que satisfacen colectivamente los axiomas de un campo vectorial: puede agregarlos de manera conmutativa, puede escalarlos con elementos del campo , estas operaciones interactúan de la manera correcta, etc. Esa no es una respuesta muy satisfactoria.

Quizás sea bueno pensar cuáles son algunas de las alternativas. Supongamos que tiene un montón de objetos que puede agregar como vectores, pero no existe una noción satisfactoria de escalares para su contexto particular. Entonces tienes un grupo … un grupo conmutativo, en particular. Tal vez tiene un montón de objetos que puede agregar como vectores, pero los “escalares” que tienen sentido para su contexto no comprenden un campo … tal vez es solo un anillo, por ejemplo. En ese caso, tiene un “módulo” sobre el anillo.

O tal vez es un “espacio vectorial plus”. Es decir, podría tener alguna estructura adicional . Por ejemplo, si puede agregar y multiplicar vectores, entonces tiene “un álgebra”, no solo un espacio vectorial. Si la multiplicación satisface algunas otras propiedades divertidas no asociativas, es un álgebra de Lie. Si el espacio vectorial tiene otras cosas adicionales, como un producto interno o algunas buenas propiedades topológicas, tal vez sea un espacio de Hilbert o un álgebra de Banach o un álgebra de Von Neumann u otra cosa. Y, por supuesto, hay millones de otros tipos de estructuras que no he descrito.

Mi punto es que no es como si hubiera espacios vectoriales y eso es todo. Existe un nombre (y generalmente un cuerpo de teoría sorprendentemente desarrollado) para prácticamente cualquier colección sensible de objetos con propiedades sensibles. ¡Incluso hay nombres para algunas colecciones de objetos aparentemente no tan sensibles con propiedades no tan sensibles!

Entonces, la aparente “especialidad” de los espacios vectoriales es probablemente porque no has visto todas las otras cosas.