Cómo encontrar el rastro de la matriz [matemática] B [/ matemática] tal que [matemática] AB + BA = 0 [/ matemática] donde [matemática] A, B [/ matemática] son ​​matrices regulares de orden [matemática] n [ /matemáticas]

Para resolver este problema, debe estar familiarizado con el siguiente teorema que básicamente establece que la traza es invariante de similitud :

[matemáticas] tr (P ^ {- 1} AP) = tr (A) [/ matemáticas]

El teorema anterior no es muy difícil de probar. Le sugiero que intente hacerlo usted mismo.

(Sugerencia: el teorema se deriva de la propiedad [math] tr (AB) = tr (BA) [/ math]. ¡Demuestre eso y listo!)

Con eso fuera del camino, volvamos al problema. La declaración del problema puede reescribirse como:

[matemáticas] AB = – (BA) [/ matemáticas]

Esto es equivalente a,

[matemáticas] B = – (A ^ {- 1} BA) [/ matemáticas]

Sería apropiado señalar aquí que el enunciado del problema especifica expresamente que A y B son matrices regulares ( es decir, son matrices cuadradas que tienen un inverso), por lo que el paso anterior es válido.

Ahora aplicando el rastro a ambos lados e invocando el teorema anterior,

[matemáticas] tr (B) = – tr (B) [/ matemáticas]

lo que implica,

[matemáticas] tr (B) = 0 [/ matemáticas]

QED

Podemos usar el resultado

[matemáticas] \ textrm {tr} B = \ textrm {tr} (A ^ {- 1} BA) [/ matemáticas]

Esto es cierto porque la traza de una matriz cuadrada es la suma de sus valores propios, y dado que [math] B [/ math] y [math] A ^ {- 1} BA [/ math] son ​​matrices similares, tienen las mismas valores propios, y por lo tanto la misma traza.

Como [math] AB + BA = 0 [/ math], [math] AB = -BA [/ math] y, por lo tanto, [math] B = -A ^ {- 1} BA [/ math]. Así

[matemáticas] \ textrm {tr} B = \ textrm {tr} (A ^ {- 1} BA) = \ textrm {tr} (- A ^ {- 1} BA) = – \ textrm {tr} (A ^ {-1} BA) [/ math], entonces

[matemáticas] \ textrm {tr} B = 0. [/ matemáticas]

Por cierto, el mismo argumento puede usarse para mostrar que [math] \ textrm {tr} A = 0 [/ math] también.

Para comenzar, tenga en cuenta que la traza es invariante a las permutaciones cíclicas. Como [math] A = -BAB ^ {- 1} [/ math] esta invariancia dicta que Trace (A) = 0. Invocación de simetría Trace (B) = 0 también. ¡Juego terminado!