Para resolver este problema, debe estar familiarizado con el siguiente teorema que básicamente establece que la traza es invariante de similitud :
[matemáticas] tr (P ^ {- 1} AP) = tr (A) [/ matemáticas]
El teorema anterior no es muy difícil de probar. Le sugiero que intente hacerlo usted mismo.
(Sugerencia: el teorema se deriva de la propiedad [math] tr (AB) = tr (BA) [/ math]. ¡Demuestre eso y listo!)
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Con eso fuera del camino, volvamos al problema. La declaración del problema puede reescribirse como:
[matemáticas] AB = – (BA) [/ matemáticas]
Esto es equivalente a,
[matemáticas] B = – (A ^ {- 1} BA) [/ matemáticas]
Sería apropiado señalar aquí que el enunciado del problema especifica expresamente que A y B son matrices regulares ( es decir, son matrices cuadradas que tienen un inverso), por lo que el paso anterior es válido.
Ahora aplicando el rastro a ambos lados e invocando el teorema anterior,
[matemáticas] tr (B) = – tr (B) [/ matemáticas]
lo que implica,
[matemáticas] tr (B) = 0 [/ matemáticas]
QED