¿Qué tipo de prerrequisito matemático necesito saber para estudiar álgebra exterior?

Answer 1

Es posible que ya haya visto esto, pero en caso de que no lo haya hecho: solo hay dos “productos cruzados”, y están en las dimensiones 3 y 7. Aquí, estoy usando “producto cruzado” para referirme a una operación binaria que satisface estas propiedades:

1. Tiene valor vectorial: es decir, dado un par de vectores n-dimensionales, el resultado es también un vector n-dimensional.

2. Es anti-conmutativo, lo que significa [matemáticas] a \ veces b = – (b \ veces a) [/ matemáticas].

3. Es ortogonal, lo que significa que [matemática] a \ veces b [/ matemática] es ortogonal tanto para [matemática] a [/ matemática] como [matemática] b [/ matemática].

Si puede vivir sin una o más de estas propiedades, entonces hay posibilidades en otras dimensiones.

Y parece que puedes vivir sin una o más de estas propiedades, si estás interesado en el álgebra exterior.

Entonces, ¿dónde aprender álgebra exterior? En cierto sentido, el mejor lugar podría ser Wikipedia. Lo que quiero decir es que el álgebra del álgebra exterior es en realidad bastante simple. Por lo general, uno necesita álgebra exterior para tratar ciertos temas en geometría diferencial. En ese contexto, el aspecto de álgebra pura solo describe lo que está sucediendo en un solo punto en un objeto geométrico, y el “trabajo pesado” implica asegurarse de que todos los cálculos puntuales tengan sentido geométrico cuando se ven colectivamente sobre todo el objeto geométrico.

Solo para darle algunas palabras de moda (sin intentar dar una idea remota), puede ver palabras como formas diferenciales, cohomología (tal vez con términos descriptivos, como la cohomología de De Rham o la cohomología cíclica o lo que sea), la dualidad de Poincare o Hodge, entre otras. Esos son todos conceptos que tocan el álgebra exterior hasta cierto punto, pero no llamaría ninguno de esos temas de “álgebra exterior”. En cambio, son conceptos de geometría.

Dejando de lado ese descargo de responsabilidad, quizás un buen lugar para buscar introducciones al álgebra exterior es en realidad en los libros de geometría. Puede ignorar toda la geometría, pero obtenga lo que desea de una o dos secciones sobre esos temas. Del mismo modo, probablemente pueda encontrar una sección o dos en los libros de álgebra abstracta típicos destinados a estudiantes de posgrado introductorios, como Álgebra de Dummitt y Foote o equivalentes.