¿Por qué encontramos inversa de una matriz? ¿Es simplemente por el bien de las operaciones matemáticas?

Answer 1

La respuesta simple es poder hacer aritmética / álgebra / cálculo / abstracciones con matrices. Cuando tenemos una operación y otra operación que deshace el efecto de la primera operación, las estructuras pueden encajar perfectamente en otras superestructuras matemáticas como anillos, campos y grupos, y todas las leyes de esas superestructuras se aplican naturalmente a estructura dada

Filosóficamente hablando, la dualidad es un regalo de la naturaleza. Por lo tanto, habiendo definido la multiplicación matricial, naturalmente pediremos un doble de multiplicación:

Si [math] AB = C \, [/ math] entonces estamos interesados ​​en la operación dual que tiene un efecto de deshacer de la operación de multiplicación que es [math] C / D = A \, [/ math] o más términos [matemática] CB ^ {- 1} = A \, [/ matemática] y [matemática] A ^ {- 1} .C = B \, [/ matemática]. Sin embargo, como sabemos, la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, en general [matemática] AB \ neq BA [/ matemática], de alguna manera esto no es como nuestra multiplicación y división de números naturales, sin embargo, en todos los demás aspectos, es como números naturales .

Es interesante notar que sabemos de una situación en la que la división no está definida para los números naturales, es decir, la división por cero, mientras que la multiplicación sigue a la propiedad de cierre: la multiplicación de 2 números naturales producirá un número natural. Del mismo modo, podemos decir cosas similares para las matrices, cuando se define adecuadamente, la multiplicación de dos matrices siempre producirá una matriz, pero al igual que cero para los números naturales, tenemos situaciones en las que la división de la matriz no está definida, y decimos que inversa de una matriz dada no existe.

El área de aplicación más grande para la dualidad en aritmética es resolver ecuaciones a pesar de otras áreas también. Por ejemplo, con números naturales utilizando la dualidad de suma / diferencia y multiplicar / dividir, podemos resolver ecuaciones lineales simples como: [matemáticas] 4x + 8 = 12. [/ matemáticas] Con las matrices podemos hacer cosas más complicadas como resolver ecuaciones simultáneas formulándolo como [math] AX = C [/ math] luego obtenga [math] X [/ math] haciendo [math] X = A ^ {- 1} .C \, [/ math] siempre que exista el inverso. Si el inverso no existe, esto solo significa que no tenemos suficiente información para resolver la ecuación de manera única, al igual que la ecuación lineal [matemática] 0 [/ matemática] [matemática] x = 4 \, [/ matemática] no es solucionable para [math] x \, [/ math] en los números naturales, ya que no existe el inverso de [math] 0 \, [/ math].

Ahora que sabemos, las matrices también son como números naturales en cierto sentido, podemos comenzar a generalizar cosas desde álgebra de números naturales hasta matrices. El más notable y elegante (según yo) entre ellos es el teorema de Cayley-Hamilton.

Answer 2

Tiene razón al suponer que es importante para otras operaciones matemáticas, por lo que si bien puede que no haya un uso práctico de formar una matriz inversa, es útil para otras operaciones. De hecho, encontrar un inverso es extremadamente importante para un concepto conocido como diagonalización.

Una explicación simple de la diagonalización es escribir una matriz [matemática] A [/ matemática] como el producto de una matriz diagonal (cuya diagonal representa los valores propios de [matemática] A [/ matemática]) y un cambio de matriz base [matemática] P ^ {- 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] P [/ matemáticas]

[matemáticas] A = PDP ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} a_ {11} y a_ {12} y a_ {13} \\ a_ {21} y a_ {22} y a_ {23} \\ a_ {31} y a_ {32} y a_ {33} \ end {bmatrix} [/ math]

= [matemáticas] \ begin {bmatrix} p_ {11} & p_ {12} & p_ {13} \\ p_ {21} & p_ {22} & p_ {23} \\ p_ {31} & p_ {32} y p_ {33} \ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} d_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & d_ {22} & 0 \\ 0 & 0 & d_ {33} \ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} p ^ {- 1} _ {11} & p ^ {- 1} _ {12} & p ^ {- 1} _ {13} \\ p ^ {- 1} _ {21} y p ^ {- 1} _ {22} & p ^ {- 1} _ {23 } \\ p ^ {- 1} _ {31} y p ^ {- 1} _ {32} y p ^ {- 1} _ {33} \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora,

Digamos que queremos encontrar el valor de [math] A ^ {15000} [/ math]. Haciendo [matemáticas] A. A . A . A … A [/ math] no es práctico y consume demasiado tiempo. La diagonalización es una forma más rápida de abordar el problema. Una prueba simple de por qué [matemáticas] PD ^ {15000} P ^ {- 1} [/ matemáticas].

[matemáticas] A ^ n = A. A . A … A (n-veces) [/ matemáticas]

[matemática] A ^ n = (PDP ^ {- 1}) (PDP ^ {- 1})… (PDP ^ {- 1}) (n-veces) [/ matemática]

[matemática] A ^ n = PD (P ^ {- 1} P) D (P ^ {- 1} P) D… (P ^ {- 1} P) DP ^ {- 1} (n-veces) [ /matemáticas]

[matemáticas] A ^ n = PDIDID I … P ^ {- 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] A ^ n = PD ^ n P ^ {- 1} [/ matemáticas]

Esto nos ayuda a calcular valores extremadamente grandes de matrices con valores relativamente pequeños. Sin inversos de matrices o la incapacidad de encontrar uno, no podríamos realizar esta operación, por lo que si bien puede no tener un uso práctico por sí solo, es un componente básico para otras operaciones importantes.

También es útil por sí solo, pero para otras operaciones matemáticas, como encontrar la solución a [matemáticas] X [/ matemáticas] en la ecuación [matemáticas] AX = B [/ matemáticas]. Esto se puede hacer multiplicando ambos lados por [matemáticas] A ^ {- 1} => A ^ {- 1} AX = A ^ {- 1} B [/ matemáticas]. Este sistema podría resolverse con una buena comprensión de las matrices.

Un ejemplo es el siguiente, había un club de medianoche ([matemáticas] C_1 [/ matemáticas]) cuya tarifa de entrada para mujeres era de $ 10 y para mujeres era de $ 15. Había otro club ([matemáticas] C_2 [/ matemáticas]) cuyo precio era de $ 25 para mujeres y $ 30 para hombres. El total ganado por [matemáticas] C_1 [/ matemáticas] fue de $ 115 y el total ganado por [matemáticas] C_2 [/ matemáticas] fue de $ 300. ¿Cuántos hombres y mujeres había allí?

[matemáticas] \ begin {bmatrix} m_1 y m_2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 10 y 25 \\ 15 y 30 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 115 y 300 \ end {bmatrix} [/ math]

Esta ecuación se representa como [matemáticas] MP = F [/ matemáticas]

Para resolver esto tendríamos que tomar el inverso de ambos lados,

[matemáticas] P ^ {- 1} = \ frac {1} {300 – 375} \ begin {bmatrix} 30 y {- 25} \\ {- 15} y {10} \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] M = \ begin {bmatrix} \ frac {-2} {5} & \ frac {1} {3} \\\ frac {1} {5} & \ frac {2} {15} \ end { bmatrix} * \ begin {bmatrix} 115 y 300 \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora resuelve para [matemática] m_1 = 14 [/ matemática] y [matemática] m_2 = \ frac {-5} {3} [/ matemática]. Si bien sé que esta respuesta no es práctica e imposible (no puedes tener hombres negativos) es solo un método para mostrar los usos de los inversos. Algo que podría resolverse usando un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse usando inversas de matrices.

Considere esto, con solo un ladrillo, no puede hacer una estructura masiva, pero con ladrillos, concreto, algo de cemento, acero, arquitectura, puede hacer un edificio. Si bien las cosas pueden parecer insignificantes cuando se miran minuciosamente, siempre mire la imagen más grande.

Espero que esto haya ayudado!

Answer 3

Quizás sea “por el bien de las operaciones matemáticas”. Las operaciones inversas son muy importantes en cualquier tipo de análisis matemático.

La resta, por ejemplo, es importante porque responde preguntas que involucran la suma. Está diseñado para encontrar [matemáticas] x [/ matemáticas] cuando sabes [matemáticas] a + x = b [/ matemáticas]:

[matemática] x + a = b [/ matemática] si y solo si [matemática] x = ba [/ matemática]

Del mismo modo, la división responde preguntas sobre la multiplicación. Para [matemáticas] a \ neq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] xa = b [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] x = b / a [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la división se puede describir en términos de multiplicación e inversas: [matemáticas] b / a = ba ^ {- 1} [/ matemáticas].

Para las matrices, también tenemos negación inversa a la suma.

[matemática] X + A = B [/ matemática] si y solo si [matemática] X = BA [/ matemática]

Dado que la multiplicación de matrices no es conmutativa, necesitaría dos operaciones de división diferentes, división izquierda y división derecha, pero en lugar de hacer eso, las inversas son suficientes para hacer el trabajo. Si [math] A [/ math] tiene un inverso, entonces

[matemática] XA = B [/ matemática] si y solo si [matemática] X = BA ^ {- 1}. [/ matemática]

Lo que esto significa es que si tiene una pregunta relacionada con la multiplicación de matrices, puede responderla mediante la inversión de matrices, siempre que exista la matriz inversa.

Answer 4

Por la misma razón, uno encuentra el inverso multiplicativo de ‘2’ en la ecuación

[matemáticas] 2x = 1. [/ matemáticas]

Es decir, para resolver ecuaciones.

En las matrices, sin embargo, en lugar de tener la ecuación [matemática] xy = 1 [/ matemática] (de la cual [matemática] y = 1 / x [/ matemática]) tenemos la ecuación [matemática] AB = I [/ matemática] , de los cuales [matemáticas] B = A ^ {- 1} [/ matemáticas].

Si la pregunta es “¿por qué necesitaría alguna vez una matriz [matemática] B [/ matemática] que satisfaga [matemática] AB = I [/ matemática]? ‘, Aquí hay una razón por la que encontrar el inverso es bastante útil (de varias docenas otras razones útiles)

Supongamos que tengo una matriz que representa una transformación bidimensional; diga una rotación de [matemáticas] 60 ^ \ circ [/ matemáticas] en sentido antihorario sobre el origen. Se puede demostrar que la matriz que representa esta transformación es

[matemáticas] A = \ begin {pmatrix} \ frac {1} {2} & – \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ \ frac {\ sqrt {3}} {2} & \ frac { 1} {2} \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces le pregunto: tengo un punto [matemático] (65, -80) [/ matemático] en el espacio 2D que fue girado por [matemático] 60 ^ \ circ [/ matemático] en sentido antihorario. ¿Dónde estaba antes de que se realizara la rotación?

La respuesta: simplemente gírelo hacia atrás [matemáticas] 60 ^ \ circ [/ matemáticas] en el sentido de las agujas del reloj, ¿verdad? ¿Y cómo hacemos esto? Claramente, ‘rotar [matemática] 60 ^ \ circ [/ matemática] en sentido horario’ es el inverso de ‘rotar [matemática] 60 ^ \ circ [/ matemática] en sentido antihorario’. Por lo tanto, la matriz que representa una rotación de [math] 60 ^ \ circ [/ math] en sentido horario debe ser la inversa de la matriz que representa una rotación de [math] 60 ^ \ circ [/ math] en sentido antihorario. Entonces la respuesta es el producto de [matemáticas] A ^ {- 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ begin {pmatrix} 65 \\ -80 \ end {pmatrix} [/ math].

Answer 5

Tan simple como uno puede explicar (Y como Gilbert Strang dice en una de sus conferencias en el MIT):

Si hay una matriz B tal que AB = I, entonces B se define como el inverso de la matriz A. Yo personalmente nunca tomé el inverso de la matriz como una cuestión de resolver ecuaciones. Siempre me fascina la idea anterior y, a medida que profundice cada vez más en el álgebra lineal y relacione los valores propios con las matrices, aprenderá mucho más sobre la inversa y cómo puede ser útil en las estimaciones de errores para algoritmos como Gradiente conjugado y Bi-Conjugate Gradiente.

Básicamente, sí, se usa principalmente para operaciones matemáticas, pero con fines mucho mejores.

Answer 6

La razón principal es encontrar la variable desconocida ‘X’ en AX = b.

Al invertir A puedes calcular X haciendo inversa (A) * b.

Hay muchos problemas en el universo que entran en esta categoría. Y cuando necesite encontrar las incógnitas, puede usar este método.

Pero hay otros métodos más simples que tomar la inversa, ya que son computacionalmente eficientes.

Answer 7

Básicamente para hacer algo al revés. Si pensamos que las matrices representan alguna transformación, digamos que una matriz A representa una rotación en el plano. Entonces la matriz inversa [matemática] A ^ {- 1} [/ matemática] representa la matriz para la rotación inversa.

Answer 8

gracias por a2a

Hay muchas razones para invertir una matriz en la práctica. Google lo hace, estoy seguro de que Quora también lo hace, para encontrar publicaciones que interesen a cierto usuario. Lea Amazon.com: PageRank y más allá de Google: la ciencia de los rankings de motores de búsqueda eBook: Amy N. Langville, Carl DD Meyer: Kindle Store

Answer 9

Una forma de resolver un sistema lineal es encontrar el inverso de la matriz de coeficientes. Han hecho otros caminos. Luego resuelve su sistema.