Una matriz cuadrada puede tener un inverso izquierdo o derecho, pero ¿qué queremos decir con inverso izquierdo y derecho?

Un inverso izquierdo de una matriz [matemática] A [/ matemática] es una matriz [matemática] L [/ matemática] tal que [matemática] LA = I [/ matemática]. ([matemática] I [/ matemática] es la matriz de identidad), y un inverso derecho es una matriz [matemática] R [/ matemática] tal que [matemática] AR = I [/ matemática]. La matriz [matemática] A [/ matemática] no necesita ser cuadrada para que posea un inverso izquierdo o derecho. La matriz tiene un inverso izquierdo si tiene columnas linealmente independientes y un inverso derecho si tiene filas linealmente independientes. (Piense en las matrices con un inverso izquierdo como alto y estrecho y lo opuesto para los inversos derechos). Los inversos derecho e izquierdo generalmente no son únicos. Sin embargo, si las filas y las columnas son linealmente independientes, entonces la matriz será cuadrada, las inversas izquierda y derecha son iguales y únicas, y llamamos a ese objeto inverso de la matriz.

Lo primero que debe saber es que solo las matrices cuadradas (n × n) pueden tener inversas.

Una matriz inversa izquierda [matemática] A [/ matemática] es una matriz cuadrada que, cuando se multiplica previamente (multiplicada por la izquierda) con la matriz cuadrada dada [matemática] M [/ matemática], da como producto la matriz de identidad cuadrada [matemáticas] I [/ matemáticas]:

[matemáticas] AM = I [/ matemáticas]

Una matriz cuadrada inversa derecha [matemática] B [/ matemática] es post-multiplicada (multiplicada por la derecha) con la matriz cuadrada dada [matemática] M [/ matemática] para obtener la matriz de identidad:

[matemáticas] MB = I [/ matemáticas]

Hay matrices cuadradas inversas [matemáticas] C [/ matemáticas] que dan la matriz de identidad cuadrada cuando se multiplican a la izquierda o a la derecha con una matriz cuadrada dada [matemáticas] M [/ matemáticas]:

[matemáticas] CM = MC = I [/ matemáticas]

La multiplicación de matrices generalmente no es conmutativa.