Cómo resolver [matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas]

Answer 1

Intentaré responder “Cómo resuelvo …” en lugar de dar la respuesta.

¿Qué notamos acerca de esta ecuación diferencial? Lo primero que noto es que está escrito con diferenciales en lugar de con una derivada.

Antes de escribirlo en una forma más estándar, ¡hay algo realmente genial que podemos notar en esta forma! Si intercambiamos x por y, ¡obtenemos la misma ecuación! Entonces si tenemos

[matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas]

Entonces también tenemos

[matemáticas] x = f (y) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = f ^ {- 1} (x) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] f = f ^ {- 1} [/ matemáticas]. Entonces, ¿qué funciones son su propio inverso? Puedo pensar en 2 en la parte superior de mi cabeza, [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] y [matemáticas] f (x) = \ frac {1} {x} [/ matemáticas].

Genial, ¡así que ya tenemos dos conjeturas! En realidad, si suponemos [matemática] f (x) = x [/ matemática], entonces la ecuación se convierte en

[matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + x ^ 2) dx [/ matemáticas]

Como [matemáticas] 1 + x ^ 2> 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] dy = dx [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = dx [/ matemáticas]

Entonces, inmediatamente, sin usar ningún cálculo, vemos que [math] y = x [/ math] parece una solución. Para estar seguros, en realidad lo resolvamos. Utilizaremos la separación de variables, que debería ser lo suficientemente fácil de detectar.

[matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {1 + y ^ 2} = \ frac {dx} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int ^ y \ frac {dt} {1 + t ^ 2} = \ int ^ x \ frac {dt} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ tan ^ {- 1} (y) = \ tan ^ {- 1} (x) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ tan (\ tan ^ {- 1} (x) + C) [/ matemáticas]

Usando la fórmula para la tangente de una suma (lamentablemente, necesitamos esto. Si es más fácil, use el seno de una suma y el coseno de una suma y divida las respuestas),

[matemáticas] y = \ frac {\ tan (\ tan ^ {- 1} (x)) + \ tan (C)} {1- \ tan (\ tan ^ {- 1} (x)) \ tan (C )}[/matemáticas]

[matemática] y = \ frac {x + D} {1-Dx} [/ matemática] donde [matemática] D = \ tan (C) [/ matemática]

¡Tenga en cuenta que si tomamos [math] D = 0 [/ math] obtenemos la solución [math] y = x [/ math] como se esperaba!

Además, tenga en cuenta que si tomamos [math] D \ rightarrow \ infty [/ math], obtenemos [math] y = – \ frac {1} {x} [/ math], ¡que es casi lo que supusimos!

Genial, pero hubo algún problema con la constante de integración y demás, así que confirmemos que esta es una solución.

[matemáticas] y = \ frac {x + D} {1-Dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {(1) (1-Dx) – (x + D) (- D)} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1 + D ^ 2} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora, busquemos [matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = \ frac {(1 + x ^ 2) (1 + D ^ 2)} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemáticas]

Ahora, encontremos [matemáticas] 1 + y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] 1 + y ^ 2 = 1 + \ left (\ frac {x + D} {1-Dx} \ right) ^ 2 [/ math]

[matemática] 1 + y ^ 2 = \ frac {(1-Dx) ^ 2 + (x + D) ^ 2} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemática]

[matemáticas] 1 + y ^ 2 = \ frac {1 + x ^ 2 + D ^ 2 + D ^ 2x ^ 2} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + y ^ 2 = \ frac {(1 + x ^ 2) (1 + D ^ 2)} {(1-Dx) ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces vemos que [matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = 1 + y ^ 2 [/ matemáticas], alternativamente, [matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1+ y ^ 2) dx [/ matemáticas]

¡Excelente! Por lo tanto, nuestra solución siempre es válida para cualquier [math] D \ in \ mathbb {R} [/ math].

¡Verifiquemos si la solución para [math] D \ rightarrow \ pm \ infty [/ math] funciona!

[math] y = \ frac {x + D} {1-Dx} \ rightarrow – \ frac {1} {x} [/ math] para [math] x [/ math] fijo

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = \ frac {1 + x ^ 2} {x ^ 2} = \ frac {1} {x ^ 2} +1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 + y ^ 2 = 1 + \ frac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Así que de nuevo, tenemos [matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = 1 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, las soluciones a la ecuación diferencial son de la forma

[matemática] y = \ frac {x + D} {1-D x} [/ matemática] para [matemática] D \ in \ mathbb {R} [/ matemática]

O la solución es

[matemáticas] y = – \ frac {1} {x} [/ matemáticas]

Específicamente, consideremos el problema del valor inicial

[matemáticas] (1 + x ^ 2) \ frac {dy} {dx} = 1 + y ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y (x_0) = y_0 [/ matemáticas]

Entonces nosotros tenemos

[matemáticas] y_0 = \ frac {x_0 + D} {1-Dx_0} [/ matemáticas]

[matemáticas] y_0-Dx_0y_0 = x_0 + D [/ matemáticas]

[matemáticas] D (1 + x_0y_0) = y_0-x_0 [/ matemáticas]

[matemáticas] D = \ frac {y_0-x_0} {1 + x_0y_0} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que si [math] x_0y_0 = -1 [/ math], esto no tiene una solución. Sin embargo, si [matemática] x_0y_0 = -1 [/ matemática], entonces [matemática] y_0 = – \ frac {1} {x_0} [/ matemática] entonces tenemos la solución [matemática] y = – \ frac {1} {x} [/ matemáticas].

Por lo tanto, la solución al problema del valor inicial es

[matemática] y = \ frac {x + D} {1-Dx} [/ matemática] donde [matemática] D = \ frac {y_0-x_0} {1 + x_0y_0} [/ matemática] if [matemática] x_0y_0 \ neq -1 [/ matemáticas]

[matemática] y = – \ frac {1} {x} [/ matemática] si [matemática] x_0y_0 = -1 [/ matemática]

Answer 2

Hola.

Es un DE separable. Entonces usamos la separación de variables.

[matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {1} {1 + y ^ 2} dy = \ dfrac {1} {(1 + x ^ 2)} dx [/ matemáticas]

Ahora puedes resolverlo

Answer 3

Si va a publicar preguntas sencillas sobre la tarea, creo que sería mejor para usted tratar de resumir los métodos o ideas que le confunden e intentar un poco más antes de simplemente publicar el problema real sin ningún contexto. Incluso cuando le muestro cómo hacer esto, no estoy seguro de que aprenda tanto para el próximo.

El método estándar en estos problemas es mover todas las y y x juntas, cada una en su propio lado de la ecuación.

Por lo tanto, (1 / (1 + x ^ 2)) dx = (1 / (1 + y ^ 2)) dy

Luego integras ambos lados dando como resultado:

arctan (x) + constante = arctan (y)

Si tomas la tangente de ambos lados, obtienes

y = tan (arctan (x) + constante),

o usando tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1- tan (a) tan (b)), obtienes

y = (x + tan (constante)) / (1 – x tan (constante)), o más generalmente,

y = (x + k) / (1 – xk), donde k es una constante.

De un texto:

Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante el método de separación de variables (o “variables separables”). Este método solo es posible si podemos escribir la ecuación diferencial en la forma

A (x) dx + B (y) dy = 0,

donde A (x) es una función de x solamente y B (y) es una función de y solamente.

Una vez que podamos escribirlo en el formulario anterior, todo lo que hacemos es integrarlo para obtener nuestra solución general.

Answer 4

Las ecuaciones diferenciales dadas son …

[matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas]

Para resolver esta ecuación usando el método de separación …

[matemáticas] \ dfrac {dx} {1 + x ^ 2} = \ dfrac {dy} {1 + y ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} (x) – \ tan ^ {- 1} (y) = \ tan ^ {- 1} (C) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} \ dfrac {xy} {1 + xy} = \ tan ^ {- 1} (C) [/ math]

[math] \ Rightarrow \ dfrac {xy} {1 + xy} = C [/ math]

[math] \ Rightarrow xy = C (1 + xy) [/ math]

Donde ‘C’ son constantes arbitrarias.

El problema ya está hecho.

Answer 5

Otro problema de HW …

Bueno, simplemente multiplique y separe ambas variables de la siguiente manera:

dy / (1 + y ^ 2) = dx / (1 + x ^ 2)
Intentando ambos lados, obtenemos integrales estándar, lo siguiente:

arco tan y = arco tan x + c (c es una constante de integración)

Answer 6

Depende de lo que estés tratando de hacer. ¿Estás intentando hacer una integración o encontrar [math] \ frac {dy} {dx} [/ math]?

Para la integración, sugiero dividir ambos lados entre [matemáticas] (1 + x ^ {2}) (1 + y ^ {2}) [/ matemáticas], y simplificar. Luego integre ambos lados y verá que la anti derivada de cada lado produce una tangente inversa. El resto es álgebra.

Para encontrar [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] simplemente divida ambos lados entre [math] (1 + x ^ {2}) (dx) [/ math] y simplifique según sea necesario.

Answer 7

La solución de [matemáticas] (1 + x ^ 2) dy = (1 + y ^ 2) dx [/ matemáticas] ———

Espero que esto te ayudará….

Answer 8

Separando las variables, la ecuación se convierte en

[matemáticas] \ tfrac {dx} {1 + y ^ 2} = \ tfrac {dy} {1 + x ^ 2} \\ [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} y = \ tan ^ {- 1} x + A \\ [/ math]

[math] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} y – \ tan ^ {- 1} x = A \\ [/ math]

[math] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} \ frac {yx} {1 + xy} = A \\ [/ math]

[math] \ Rightarrow \ tan ^ {- 1} \ frac {yx} {1 + xy} = \ tan ^ {- 1} C \\ [/ math]

[matemática] \ por lo tanto yx = C * (1 + xy) \\ [/ matemática]

Answer 9

Simplemente separe las variables y tome las funciones respectivas con sus respectivos coeficientes diferenciales,

luego integre con respecto a los coeficientes diferenciales para obtener,

arctan (y) = arctan (x) + c

o y = tan {arctan (x) + c}

Answer 10

esta pregunta es bastante fácil, se puede hacer mediante un método separable variable

es decir, dy = dx
( 1 + y ^ 2) (1 + x ^ 2)

ahora integramos ambos lados, obtenemos

tan ^ -1 (y) = tan ^ -1 (x) + c
(donde c es una constante)

Answer 11

[matemáticas] \ begin {align} (1 + x ^ 2) \ mathrm dy & = (1 + y ^ 2) \ mathrm dx \\\ int \ dfrac {\ mathrm dy} {y ^ 2 + 1} & = \ int \ dfrac {\ mathrm dx} {x ^ 2 + 1} \\\ arctan y & = \ arctan x + \ arctan c \\ y & = \ tan (\ arctan x + \ arctan c) \\ y & = \ boxed {\ dfrac {x + c} {1-cx}} \ qquad \ qquad \ boxed {\ porque \ tan (A + B) = \ dfrac {\ tan A + \ tan B} {1- \ tan A \ tan B}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

Answer 12

dy / (1 + y²) = dx / (1 + x²)

arctany = arctanx + c … let arctany = a … tana = y, tanb = x

a = b + c

ab = c

tan (ab) = tanc

(yx) / (1 + xy) = k

yx = k (1 + xy)

Answer 13

(1 + x ^ 2) .dy = (1 + y ^ 2) .dx

[1 / (1 + y ^ 2)] dy = [1 / (1 + x ^ 2).] Dx

tan inverso y = tan inverso x + C, Respuesta.