Son dos formas diferentes de definir una función, y ambas implican derivadas de la función. Aparte de eso, no están relacionados.
Una ecuación diferencial es una relación entre una función en un punto y sus derivadas en ese punto. Como ejemplo, una de las ecuaciones diferenciales más simples que puede tener es esta:
[matemáticas] \ frac {df (x)} {dx} = f (x) [/ matemáticas]
Dice que, en cada punto [matemática] x [/ matemática], la derivada de esta función es igual a la función misma. Encontrará que la solución a esta ecuación diferencial es la función exponencial,
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[matemáticas] f (x) = Ae ^ x [/ matemáticas]
donde [math] A [/ math] es cualquier constante (que puede ser fijada por una condición límite). Se podría decir que esta ecuación diferencial define la función exponencial.
Una serie de Taylor es una expresión de una función en términos de una serie (posiblemente infinita) de funciones de potencia,
[matemáticas] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (x-x_0) ^ n [/ matemáticas]
donde [math] x_0 [/ math] es algún punto elegido, generalmente considerado como el punto por el cual la serie converge más rápido. Al tomar derivadas sucesivas y establecer [math] x = x_0 [/ math], uno encuentra rápidamente que
[matemáticas] a_n = \ frac {f ^ {(n)} (x_0)} {n!} [/ matemáticas]
donde [math] f ^ {(n)} (x_0) [/ math] es la enésima derivada de la función evaluada en [math] x_0 [/ math]. Entonces, podemos reescribir la serie como
[matemática] f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} [/ matemática] [matemática] \ frac {f ^ {(n)} (x_0)} {n!} [/ matemática] [/ matemática] [ matemáticas] (x-x_0) ^ n [/ matemáticas]
Para nuestra función exponencial, todas las derivadas son muy fáciles de calcular,
[matemática] f (x_0) = [/ matemática] [matemática] f ^ {(1)} (x_0) [/ matemática] [matemática] = [/ matemática] [matemática] f ^ {(2)} (x_0) = [/ matemáticas] [matemáticas] f ^ {(n)} (x_0) = e ^ {x_0} [/ matemáticas]
Es decir, todas las derivadas son iguales entre sí (podría encontrar esto por cálculo directo, o podría verlo en la ecuación diferencial anterior). Esto nos da la expansión de la serie Taylor para la función exponencial,
[matemática] e ^ {x} = e ^ {x_0} [/ matemática] [matemática] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} [/ matemática] [matemática] \ frac {(x-x_0) ^ n } {n!} [/ matemáticas]
o con [math] x_0 = 0 [/ math] (esto nos da la serie Maclaurin),
[matemáticas] e ^ {x} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {x ^ n} {n!} [/ matemáticas]
Por lo tanto, sorprendentemente, la función exponencial se puede representar como esta serie infinita de monomios. Una forma de ver esto es, nuevamente, como una definición de la función exponencial.
Pero, como puede ver, la serie de Taylor y la ecuación diferencial son casi completamente ajenas.