La ecuación dada es [matemática] ydx – (y ^ 2 + x ^ 2 + x) dy = 0 [/ matemática]
Puedo escribir esto como
[matemáticas] ydx – (y ^ 2 + x ^ 2) dy -xdy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] – (xdy – ydx) – (y ^ 2 + x ^ 2) dy = 0 \… Eq \ -> \ 1 [/ matemáticas]
Si estás bien versado en diferenciar,
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Sabrías que …
[matemáticas] -d [\ tan ^ {- 1} \ dfrac {x} {y}] = \ dfrac {(xdy -ydx) / y ^ 2} {1+ (x / y) ^ 2} [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ dfrac {(xdy -ydx) / y ^ 2} {1+ (x / y) ^ 2} = \ dfrac {xdy – ydx} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces, [math] -d [\ tan ^ {- 1} \ dfrac {x} {y}] = \ dfrac {xdy – ydx} {x ^ 2 + y ^ 2} [/ math]
Espero que veas una gran pista ahora.
Marque [math] Eq \ -> \ 1 [/ math],
¿Lo viste?
Dividiendo [matemática] Eq \ -> \ 1 [/ matemática] por [matemática] (y ^ 2 + x ^ 2) [/ matemática], obtenemos
[matemáticas] – \ dfrac {xdy – ydx} {x ^ 2 + y ^ 2} -dy = 0 [/ matemáticas]
Sustitución de cosas,
[matemáticas] – (- d [\ tan ^ {- 1} \ dfrac {x} {y}]) -dy = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] d [\ tan ^ {- 1} \ dfrac {x} {y}] – dy = 0 [/ matemáticas]
Integrando en ambos lados, tenemos
[matemáticas] \ tan ^ {- 1} \ dfrac {x} {y} – y + C = 0 [/ matemáticas]
cuál es la solución de la pregunta dada.
Tenga en cuenta que, al multiplicar [math] \ dfrac {1} {(y ^ 2 + x ^ 2)} [/ math], resolví el DE, por lo tanto, es el factor de integración.
¡Ten un feliz día!