Podemos usar la métrica en la esfera:
[matemáticas] ds ^ 2 = R ^ 2 d \ theta ^ 2 + R ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta d \ phi ^ 2 [/ matemáticas]
Ahora, la distancia entre dos puntos en una esfera es:
[matemáticas] \ int ds = R \ int \ sqrt {\ left (\ frac {d \ theta} {d \ lambda} \ right) ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \ left (\ frac {d \ phi} {d \ lambda} \ right) ^ 2} d \ lambda [/ math]
donde [math] \ lambda [/ math] es un parámetro a lo largo de la curva. En este punto, podemos limitar la distancia tratando el integrando como una función lagrangiana, es decir:
[matemáticas] L (\ theta, \ phi, \ dot {\ theta}, \ dot {\ phi}) = \ sqrt {\ left (\ frac {d \ theta} {d \ lambda} \ right) ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \ left (\ frac {d \ phi} {d \ lambda} \ right) ^ 2} [/ math]
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Luego usamos las ecuaciones de Euler-Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales que describen la curva en la esfera que minimiza la distancia. Las ecuaciones de Euler-Lagrange son:
[matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial \ theta} – \ frac {d} {d \ lambda} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ theta}} = 0 [/ math]
[matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial \ phi} – \ frac {d} {d \ lambda} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {\ phi}} = 0 [/ math]
Esto implica que:
[matemáticas] \ frac {1} {L} \ sin \ theta \ cos \ theta – \ frac {d} {d \ lambda} \ left (\ frac {1} {L} \ dot {\ theta} \ right) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {1} {L} \ dot {\ phi} \ sin ^ 2 \ theta = c_1 [/ matemáticas]