Considere la ecuación [matemática] (x ^ 2 + 1) (y ^ 2 + y) = 4 [/ matemática] ¿demuestra que existen puntos y encuentra la ecuación tangente a la gráfica?

Answer 1

Gracias por A2A.

Para responder (a) simplemente conecte 1 para x y -2 para y para obtener:

[matemáticas] (1 ^ 2 + 1) ((- 2) ^ 2 + (- 2)) = 2 \ veces2 = 4 [/ matemáticas]

Para responder (b) siga 4 pasos:

• Encuentre [math] \ frac {dy} {dx} = y ‘[/ math]

Como la función es implícita, entonces necesitamos usar la diferenciación implícita:

[matemáticas] (x ^ 2 + 1) (y ^ 2 + y) = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2y ^ 2 + y ^ 2 + x ^ 2y + y = 4 [/ matemáticas]

Tomar derivada de ambos lados:

[matemáticas] 2xy ^ 2 + [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 2 (2y) (y ‘) + (2y) (y’) + 2xy + x ^ 2 (y ‘) + (y’) = 0 [ /matemáticas]

Extraer [matemáticas] y ‘[/ matemáticas]

[matemáticas] 2 [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 2yy ‘+ 2yy’ + x ^ 2y ‘+ y’ = – 2xy-2xy ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] y ‘(2 [/ matemática] [matemática] x ^ 2y + 2y + x ^ 2 + 1) = – 2xy-2xy ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] y ‘= \ frac {-2xy-2xy ^ 2} {2x ^ 2y + 2y + x ^ 2 + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= – \ frac {2xy (1 + y)} {(2y + 1) (x ^ 2 + 1)} [/ matemáticas]

• Encuentre el valor de [math] y ‘(x) [/ math] en el punto [math] (1, -2) [/ math]

[matemáticas] y ‘= – \ frac {2 (1) (- 2) (1 + (- 2))} {(2 (-2) +1) ((1) ^ 2 + 1)} [/ matemáticas ]

[matemáticas] y ‘= – \ frac {-4 (-1)} {(- 4 + 1) (2)} [/ matemáticas]

[matemática] y ‘= – \ frac {4} {- 6} = \ frac {2} {3} [/ matemática]

• Luego, aplique la fórmula de línea tangente, usando [math] \ frac {2} {3} [/ math] como pendiente:

[matemáticas] y-y_0 = m (x-x_0) [/ matemáticas]

[matemáticas] y – (- 2) = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {2} {3} (x-1) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {2} {3} (x-1) -2 [/ matemáticas]

[matemática] y = [/ matemática] [matemática] \ frac {2} {3} (x) – [/ matemática] [matemática] \ frac {2} {3} [/ matemática] [matemática] -2 [/ matemáticas]

[matemática] y = [/ matemática] [matemática] \ frac {2} {3} (x) – [/ matemática] [matemática] \ frac {8} {3} [/ matemática]

Espero que ayude

Answer 2

Entonces, ¿qué sucede si sustituyes [matemática] x = 1, y = -2 [/ matemática] en la ecuación? ¿Es eso una solución a la ecuación?

Para el segundo problema, desea la pendiente, [matemática] \ frac {dy} {dx} [/ matemática] de la tangente a la curva en ese punto. Puede obtener eso diferenciando implícitamente la ecuación con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] y resolviendo [matemáticas] \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x, y [/ matemáticas].

[matemáticas] \ frac {d} {dx} (x ^ 2 + 1) (y ^ 2 + y) = \ frac {d} {dx} 4 [/ matemáticas]

[matemática] (x ^ 2 + 1) (2aa ‘+ y’) + (2x) (y ^ 2 + y) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] y ‘(x ^ 2 + 1) (2y + 1) = -2x (y ^ 2 + y) [/ matemáticas]

[matemáticas] y ‘= \ frac {-2x (y ^ 2 + y)} {(x ^ 2 + 1) (2y + 1)} [/ matemáticas]

Si conecta [math] x, y [/ math] para el punto de interés, puede obtener [math] y ‘[/ math] en ese punto, y luego, utilizando la ecuación punto-pendiente para una línea, puede resuelve tu problema