Tecnicamente hablando. Runge-Kutta es una familia de métodos.
Se usa para resolver numéricamente ciertas ecuaciones como las siguientes.
Supongamos que tenemos una derivada de [math] y [/ math] o [math] y ‘[/ math].
Y tenemos un punto de partida. [matemáticas] f (0) = 6 [/ matemáticas]
Ahora lo que pasa es que no todas las ecuaciones diferenciales como [math] y ‘= f (t, y) [/ math] son agradables de resolver. Los matemáticos dirán que no se pueden resolver con funciones elementales.
Básicamente no puedes encontrar una buena función tal que [math] f (t) = y [/ math]
No podemos encontrar [math] f (t) [/ math] de [math] f ‘(t) [/ math].
Entonces, en lugar de eso, intentamos la manera fácil.
Con los métodos RK, comenzamos con un punto y una ecuación que describe la pendiente.
Básicamente un punto de partida y una descripción del cambio en la función.
Los métodos RK de primer orden, generalmente llamados método de Euler.
se define de tal manera que
[matemáticas] y_ {n + 1} = y_ {n} + h * y ‘[/ matemáticas]
[matemáticas] t_ {n + 1} = t_ {n} + h [/ matemáticas]
Básicamente comenzamos en (t, y), calculamos dónde debería estar el siguiente punto en relación con el primero. Luego calcule el siguiente punto.
Crédito para presentar: Euler method.svg
El problema con este método es que generalmente no es correcto. Tomar pasos más pequeños puede aumentar la cercanía de la función, pero generalmente será demasiado alta o demasiado baja.
La pregunta era cómo mejorar esa pendiente.
Bueno, como dije, la opción 1 es tomar pasos más pequeños.
Pero hay otra opción, tratar de encontrar mejores pendientes que juzguen con mayor precisión la pendiente promedio entre dos puntos.
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El método RK específico que generalmente se llama el método “Runge-Kutta” es el método Runge-Kutta de cuarto orden, o a menudo llamado RK4, toma 4 pendientes diferentes y las promedia.
[matemáticas] k_ {1} = f (t_ {n}, y_ {n}) [/ matemáticas]
[matemáticas] k_ {2} = f (t_ {n} + \ frac {h} {2}, y_ {n} + \ frac {h} {2} k_ {1}) [/ matemáticas]
[matemáticas] k_ {3} = f (t_ {n} + \ frac {h} {2}, y_ {n} + \ frac {h} {2} k_ {2}) [/ matemáticas]
[matemáticas] k_ {4} = f (t_ {n} + h, y_ {n} + h * k_ {3}) [/ matemáticas]
[matemáticas] y_ {n + 1} = y_ {n} + \ frac {h} {6} (k_ {1} + 2k_ {2} + 2k_ {3} + k_ {4}) [/ matemáticas]
[matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} + h [/ matemáticas]