Cómo resolver la ecuación diferencial [matemáticas] y = x \ frac {dy} {dx} + \ frac {dx} {dy}

Answer 1

[matemáticas] y = x \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} + \ dfrac {\ mbox {d} x} {\ mbox {d} y} [/ matemáticas]

Diferenciar ambos lados con [matemáticas] x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} = \ dfrac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} x} \ left (x \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} \ right) + \ dfrac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} x} \ left (\ dfrac {\ mbox {d} x} {\ mbox {d} y} \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que [matemáticas] \ dfrac {\ mbox {d} x} {\ mbox {d} y} = \ left (\ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} \ right) ^ { -1} [/ math], por lo que su derivada con respecto a [math] x [/ math] viene dada por

[matemáticas] \ dfrac {\ mbox {d}} {\ mbox {d} x} \ left (\ dfrac {\ mbox {d} x} {\ mbox {d} y} \ right) = -1 \ left ( \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} \ right) ^ {- 2} \ dfrac {\ mbox {d} ^ 2y} {\ mbox {d} x ^ 2} [/ math ]

Conecte este valor. Entonces tenemos,

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} = \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} + x \ dfrac {\ mbox { d} ^ 2y} {\ mbox {d} x ^ 2} – 1 \ left (\ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} \ right) ^ {- 2} \ dfrac {\ mbox {d} ^ 2y} {\ mbox {d} x ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ left (\ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} \ right) ^ {- 2} = x [/ math]

[matemáticas] \ implica \ dfrac {\ mbox {d} y} {\ mbox {d} x} = \ pm \, x ^ {- 1/2} [/ matemáticas]

[matemática] y = \ pm \, 2 x ^ {1/2} + \ matemática {C} [/ matemática]

Como esto debería satisfacer la ecuación dada, así que si sustituye [math] y [/ math] en una ecuación diferencial dada, encontrará que [math] \ mathcal {C} = 0 [/ math]

[math] \ implica \ boxed {y = \ pm \, 2 \ sqrt {x}} [/ math]

Answer 2

Reescribimos la ecuación de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle {y = xy ‘+ \ frac {1} {y’}} \ qquad (1) [/ matemáticas]

Este es un caso especial de la oda de Clairaut. Su forma general viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle {y = xy ‘+ \ Psi (y’)} [/ matemáticas]

donde [math] \ displaystyle {\ Psi (y ‘)} [/ math] es, en la mayoría de los casos, una función no lineal de [math] \ displaystyle {y’} [/ math].

Deje [math] \ displaystyle {p = y ‘} [/ math]. La ecuación (1) será:
[matemáticas] \ displaystyle {y = xp + \ frac {1} {p}} \ qquad (2) [/ matemáticas]

Luego, tomando la diferencia de ambos lados de (2), se obtiene:
[math] \ displaystyle {\ mathrm {d} y = x \ mathrm {d} p + p \ mathrm {d} x – \ frac {\ mathrm {d} p} {p ^ 2}} [/ math]

Como [math] \ displaystyle {\ mathrm {d} y = y ‘\ mathrm {d} x = p \ mathrm {d} x} [/ math], se nos ocurre:
[matemáticas] \ displaystyle {p \ mathrm {d} x = x \ mathrm {d} p + p \ mathrm {d} x – \ frac {\ mathrm {d} p} {p ^ 2}} [/ math]

o:
[math] \ displaystyle {\ mathrm {d} p \ left (x – \ frac {1} {p ^ 2} \ right) = 0} [/ math]

i) Si [math] \ displaystyle {\ mathrm {d} p = 0 \ Rightarrow p = C} [/ math] donde [math] C [/ math] es constante. Inserte esto en la ecuación (2) obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {y = Cx + \ frac {1} {C}} [/ matemáticas]

cual es la solución general de la ecuación (1).

ii) Si [math] \ displaystyle {x – \ frac {1} {p ^ 2} = 0 \ Rightarrow xp = \ frac {1} {p}} [/ math]. Inserte en la ecuación (1), tenemos otra solución que se proporciona paramétricamente de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle {x = \ frac {1} {p ^ 2}} [/ matemáticas] y
[matemáticas] \ displaystyle {y = \ frac {2} {p}} [/ matemáticas]

Al eliminar [math] p [/ math] de las dos ecuaciones anteriores, logramos:
[matemáticas] \ displaystyle {y ^ 2 – 4x = 0} [/ matemáticas]
que es una llamada solución singular de la ecuación (1)

Referencia: Clairaut oda

Ecuación de Clairaut

Answer 3

Esta ecuación tiene la forma de la ecuación de Clairaut. Hay dos soluciones La ecuación de Clairaut tiene la forma y = px + f (p) donde p = dy / dx.

Las dos soluciones son y = cx + 1 / c donde c es una constante.
La segunda solución es su envolvente y = + o – 2√x.

Prueba:
y = px + f (p)
Diferenciando con respecto a x obtenemos,
p = p + x dp / dx + f ‘(p) dp / dx
dp / dx (f ‘(p) + x) = 0
Lo que significa dp / dx = 0, por lo tanto p = c o
f ‘(p) + x = 0

En nuestro problema f (p) = 1 / p.