Cómo demostrar que x ^ 3 (d ^ 3 y / dx ^ 3) = delta (delta-1) (delta-2) y

Answer 1

Creo que la respuesta anterior se puede generalizar fácilmente. Defina el operador [math] G_k = x ^ k \ frac {d ^ k} {dx ^ k} [/ math] y observe que, bajo el cambio de la variable [math] x = e ^ t [/ math], [ matemáticas] G_1 = \ frac {d} {dt} = \ Delta [/ matemáticas].

Ahora
[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} G_k = k / x G_k + 1 / x G_ {k + 1}, [/ matemáticas]
que se puede arreglar para ceder
[matemáticas] G_ {k + 1} = G_1 G_k- k G_ {k} = (G_1 -k) G_k. [/matemáticas]

Si identificamos [matemáticas] G_0 = I [/ matemáticas], donde [matemáticas] I [/ matemáticas] es la identidad, entonces la última fórmula es válida para [matemáticas] k = 0,1,2,3, \ ldots [ /matemáticas]. Resulta que
[matemáticas] G_2 = (G_1-1) G_1 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] G_3 = (G_1-2) G_2 = (G_1-2) (G_1-1) G_1. [/matemáticas]

Generalizando, tenemos la factorización
[matemática] G_k = \ prod_ {j = 0} ^ {k-1} (G_1-j), \ quad k = 1,2,3, \ ldots [/ math]
que se puede probar por inducción. Espero que esto ayude,

Norma

Answer 2

Empecemos desde

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = \ Delta (\ Delta-1) y. [/ math]

Diferenciar la LHS wrt [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} \ right) = x ^ 2 \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} + 2x \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}. [/ Math]

Multiplica ambos lados por [matemáticas] x [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} \ right) = x ^ 3 \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3 } + 2x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}. [/ Math]

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3 \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} = x \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} \ right ) – 2x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}. [/ Math]

Pero [math] \ displaystyle x \ frac {d} {dx} \ left (x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} \ right) [/ math] también se puede escribir como

[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {d} {dt} \ left (x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} \ right) \ frac {dt} {dx} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = x \ Delta (\ Delta (\ Delta – 1)) y \ left (\ frac {1} {x} \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ Delta ^ 2 (\ Delta – 1) y, [/ matemáticas]

y [math] \ displaystyle 2x ^ 2 \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = 2 \ Delta (\ Delta – 1) y [/ math].

Entonces

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3 \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3} = \ Delta ^ 2 (\ Delta – 1) y-2 \ Delta (\ Delta – 1) y = \ Delta (\ Delta – 1) y (\ Delta – 2), [/ matemáticas]

según sea necesario.