Cómo encontrar una solución en serie de la ecuación diferencial [matemáticas] y ^ {‘} + 3x ^ {2} y ^ {‘} – xy = 0

La EDO:
[matemáticas] \ displaystyle {y ” + 3x ^ 2y ‘- xy = 0} [/ matemáticas]

La solución polinómica está dada por:
[matemáticas] \ displaystyle {y = C_0 + C_1x + C_2x ^ 2 +… + C_nx ^ n +… = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} C_nx ^ n} \ qquad (1) [/ math]
donde [math] C_n \, (n = 0,1, \ dots, \ infty) [/ math] son ​​coeficientes constantes a definir.

La primera derivada de (1) se calcula de la siguiente manera:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} C_nx ^ n \ right)’ = \ left (C_0 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} C_nx ^ n \ right) ‘= \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} nC_nx ^ {n-1}} \ qquad (2) [/ math]

Ahora reconfiguramos el índice de la serie para que comience en cero en lugar de 1. Vamos a introducir una variable ficticia [matemática] m [/ matemática] tal que: [matemática] n-1 = m \ Flecha derecha n = m + 1 [/matemáticas]. Entonces (2) será:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} (m + 1) C_ {m + 1} x ^ m} [/ matemáticas]

Como [math] m [/ math] es una variable ficticia, es legal reemplazar [math] m [/ math] con [math] n [/ math]:
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1)
c_ {n + 1} x ^ n} \ qquad (3) [/ math]

De (3) la segunda derivada se obtiene como:
[matemáticas] \ displaystyle {y ” = \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1)
C_ {n + 1} x ^ n \ right) ‘= \ left (C_1 + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (n + 1) C_ {n + 1} x ^ n \ right)’ = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} n (n + 1) C_ {n + 1} x ^ {n-1}} \ qquad (4) [/ math]

Nuevamente reconfiguramos el índice de serie (4) y obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {y ” = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) (n + 2) C_ {n + 2} x ^ n} \ qquad (5) [/ math ]

Del mismo modo, podemos calcular el segundo término de la EDO:
[matemáticas] \ displaystyle {3x ^ 2y ‘= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 3 (n + 1) C_ {n + 1} x ^ {n + 2}} \ qquad (6) [/ matemáticas]

y el tercer término va a ser:
[matemáticas] \ displaystyle {-xy = – \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} C_n x ^ {n + 1} \ qquad (7)} [/ matemáticas]

Inserte (5), (6) y (7) en el ODE, podemos recibir una identidad:
[matemáticas] \ displaystyle {\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) (n + 2) C_ {n + 2} x ^ n + \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 3 (n + 1) C_ {n + 1} x ^ {n + 2} – \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} C_n x ^ {n + 1} \ equiv 0} [/ matemática]
[matemáticas] \ displaystyle {\ Leftrightarrow 2C_2 + (6C_3 – C_0) x + \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} \ left [(n + 1) (n + 2) C_ {n + 2} + 3 (n-1) C_ {n-1} – C_ {n-1} \ right] x ^ n \ equiv 0} [/ math]
[matemáticas] \ Leftrightarrow \ displaystyle {2C_2 + (6C_3 – C_0) x + \ sum_ {n = 2} ^ {\ infty} \ left [(n + 1) (n + 2) C_ {n + 2} + ( 3n-4) C_ {n-1} \ right] x ^ n \ equiv 0} \ qquad (8) [/ math]

Dado que (8) se cumple para todos [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], usando los resultados del álgebra lineal debemos tener:
[matemáticas] \ displaystyle {2C_2 = 0} [/ matemáticas],
[matemáticas] \ displaystyle {6C_3 -C_0 = 0} \ qquad [/ matemáticas]
y
[matemáticas] \ displaystyle {(n + 1) (n + 2) C_ {n + 2} + (3n-4) C_ {n-1} = 0 \ qquad (n = 2,3, \ dots, \ infty )}[/matemáticas]

Por lo tanto:
[matemáticas] \ displaystyle {C_2 = 0, \, C_3 = \ frac {C_0} {6}} \ qquad (9) [/ math]
y
[matemáticas] \ displaystyle {C_ {n + 2} = – \ frac {3n-4} {(n + 1) (n + 2)} C_ {n-1} \ qquad (n = 2,3, \ puntos , \ infty)} \ qquad (10) [/ math]

Suponemos que los valores iniciales de la EDO están dados por [math] y (0), \, y ‘(0) [/ math] luego de (1) y (2) obtenemos fácilmente:
[matemáticas] C_0 = y (0), \, C_1 = y ‘(0) \ qquad (11) [/ matemáticas]

En conclusión, la solución polinómica está dada por (1) con los coeficientes que están determinados por (9), (10) y (11)

Como paso final, se debe tener en cuenta el procedimiento de verificación. Eso significa que todavía tenemos que demostrar que la serie que hemos construido es realmente convergente. Pero como no conocemos el valor de [math] y (0), y ‘(0) [/ math] concretamente, simplemente detenemos el proceso de resolución aquí.