¿Por qué todas las ecuaciones asombrosas son tan simples?

Muchas ecuaciones son engañosamente simples.

Por ejemplo, tome el ejemplo de las ecuaciones de Maxwell

La forma más simple que se me ocurre, o casi cualquier ecuación lo suficientemente interesante como para escribir un libro completo, es:
[matemáticas] F = dA [/ matemáticas]
[matemáticas] d * F = * J [/ matemáticas]

De hecho, es asombroso pensar que recientemente leí un libro (bastante sustancial) sobre las consecuencias matemáticas de 10 símbolos. Sin embargo, esto está enterrado bajo una gruesa capa de notación.
Para empezar, en forma de componentes, constituyen 80 ecuaciones con una gran redundancia (principalmente derivadas de las propiedades antisimetría). Muchos de estos se pueden ver más adelante, pero solo si comprende las convenciones y teoremas adjuntos a este campo de las matemáticas (por ejemplo, que todas las formas diferenciales son antisimétricas en todos los índices). La simplicidad de esta notación proviene esencialmente de la subcontratación de la complejidad: la simetría del indicador, por ejemplo, solo proviene del conocimiento de que [matemática] d ^ 2 \ phi = 0 [/ matemática] para todas las formas diferenciales, en lugar de escribir explícitamente que:
[matemáticas] A ^ {\ mu} \ rightarrow A ^ {\ mu} + \ partial ^ {\ mu} \ phi [/ matemáticas]

Además, este formulario no es de mucha ayuda para la mayoría de las aplicaciones computacionales del electromagnetismo. Para resolver los campos reales que uno obtiene en los experimentos, necesitaría escribirlos como algo así como
[matemáticas] F ^ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} [/ math]
[matemática] \ parcial ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} A ^ {\ nu} = J ^ {\ nu} [/ matemática]
Esto ha pasado de 80 ecuaciones en 10 símbolos a 20 en 22. Aunque siguen siendo elegantes y hermosas, sin duda son más complejas de escribir.

Pero entonces (para la mayoría de los experimentos) necesitaría comprender cómo interactúan estos campos con la materia, es decir
[matemáticas] f ^ [\ mu] = F ^ {\ mu} _ {\ nu} U ^ {\ nu} [/ matemáticas]

Pero luego, para aplicar eso, tendrías que entender qué era una fuerza, es decir
[matemáticas] f ^ {\ mu} = \ frac {dP ^ {\ mu}} {d \ tau} = \ frac {d ^ 2 x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2} [/ matemáticas]

Pero incluso para comprender las matemáticas de esa ecuación, necesita incorporar todo tipo de cosas, como el tensor métrico con el que está trabajando, la topología que está asumiendo, el significado de una curva, de una variedad, de una métrica, de un espacio vectorial, de una derivada, de un campo … Me temo que son elefantes hasta el fondo. Y no se trata solo de cosas triviales: dudo que la mayoría de los estudiantes de física realmente entiendan muchos de los detalles, sobre capas y capas de interrogación, de lo que se entiende por la última ecuación. No lo necesitan, pero eso es porque trabajan con una mezcolanza conocida como matemáticas de física.

Del mismo modo, si interroga la identidad de Euler, encuentra que se basa en el conocimiento de una función exponencial y números complejos, que se basa en el conocimiento de series, límites, funciones, campos, y así sucesivamente.

En respuesta a su pregunta, entonces, las ecuaciones hermosas a menudo son simples porque ocultan su complejidad en la gran biblioteca de conocimiento que el lector ya tiene. Las ecuaciones nos dicen cosas que tienen un significado matemático pero también humano, y esto último depende del lector. Si el lector sabe sobre el tema, el escritor puede usar ese conocimiento para eliminar gran parte de la grasa de las ecuaciones.

Finalmente, me gustaría cuestionar ligeramente la pregunta en sí. A veces existe una mejor forma para una ecuación que la más simple, porque lo que te dice se presenta de una manera más interesante. Mirando el ejemplo que te he mostrado,
mi forma favorita de poner la ecuación de maxwell es en términos del campo del medidor QED, es decir
[math] \ mathcal {L} = \ mathcal {L} _ {m} (\ psi, D _ {\ mu} \ psi) + \ frac {1} {2 \ alpha} \ big [D _ {\ mu}, D _ {\ nu} \ big] [/ math]
[matemáticas] D _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} + i \ alpha A _ {\ mu} [/ matemáticas]
Para mí, esto me dice más sobre el aparato matemático y el significado físico del electromagnetismo, es decir, que es una fuerza que emerge de la ambigüedad causada por la simetría del calibre U (1) obedecida por la naturaleza, que la notación hipercompacta utilizada anteriormente . Pero esta es la clave: la elección es mía , y en realidad todo lo que hacemos al escribirlo más o menos es jugar con diferentes formas de expresar hechos matemáticos que flotan sobre un mar de conocimiento existente.
De manera similar, prefiero la fórmula de Euler ([matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos {\ theta} + i sin {\ theta} [/ matemáticas] a la identidad de Euler , de manera similar porque te dice más sobre el significado de lo que está sucediendo en.

Lo siento, mi respuesta es tan larga, espero que hayas disfrutado leyéndola 🙂

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También vale la pena mencionar que la ecuación de Planck es poderosa, no tanto de lo que dice (aunque eso también es relevante, es solo un caso especial simplificado, posiblemente menos interesante de la ecuación de Schrödinger) y más porque no tiene sentido con la forma en que la mayoría de las personas Piensa en el mundo. En términos de lo que dije anteriormente, lo interesante es que se mete con el cuerpo de conocimiento preexistente del lector y los obliga a reconsiderar lo que creían saber.

Creo que una de las discusiones más hermosas que se haya hecho sobre este tema fue escrita por Wigner:

La efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales

Para mí, parece que la efectividad irracional está realmente en el cerebro humano. El cerebro humano fue seleccionado para resolver problemas de supervivencia (¿cómo no me matan antes de tener hijos?), Muchos de los cuales equivalen a la física clásica (desde el lanzamiento de flechas hasta la construcción de infraestructura, etc.).

Una de las áreas en las que el cerebro humano muestra destreza es el reconocimiento de patrones. De hecho, es tan poderoso que lo usamos para clasificar imágenes en proyectos de computación distribuida donde las personas son en realidad “nodos”. Por ejemplo: Galaxy Zoo

El reconocimiento de patrones generalmente se manifiesta en el pensamiento humano como analogía. El poder de la analogía se vuelve aún más impresionante cuando se combina con otra área que destaca nuestro cerebro: el lenguaje. Ahí es donde entran en juego las matemáticas. Las matemáticas son un lenguaje diseñado que proporciona una representación intuitiva y semiótica de las experiencias naturales, que puede revelar muchos patrones similares entre cosas muy diferentes. Dado que fue (y sigue siendo) diseñado para representar relaciones observadas (como cualquier otro idioma) de una manera económica y sin ambigüedades, lo hace. Cuando no es así, las personas transforman las matemáticas hasta que lo hace.

Sin embargo, desde principios del siglo XX, hemos podido descubrir y, hasta cierto punto, comprender fenómenos que escapan de nuestra experiencia cotidiana y, como era de esperar, las matemáticas involucradas se volvieron cada vez más abstractas y difíciles. Aún así, tratamos de razonar con las analogías: de la misma manera que dividimos los números a medida que dividimos los pasteles, pensamos en cuestiones topológicas complejas en términos de haces de fibras, planos tangentes, espacios duales , por ejemplo, todas las palabras que sugieren directamente analogías son en juego.

Al final, parece que el poder de las matemáticas es en realidad un corolario del poder del cerebro humano para comprender (como en las cosas grupales mediante un comportamiento similar) y expresar esta comprensión a otros humanos.

No creo que sea una coincidencia, es más como una especie de prejuicio de los sobrevivientes.

De manera similar a lo que menciona Prithvi Reddy, diría que muchas de las construcciones en matemáticas o física matemática están orientadas a expresar ideas complejas de una manera lo suficientemente simple como para que pueda entenderse, comunicarse y reutilizarse como un edificio bloques para usos posteriores.

Lo que a los matemáticos les gusta hacer a veces es resolver un problema difícil usando soluciones mecánicas / de fuerza bruta (incluso computadoras, por ejemplo), y luego, una vez que tienen una solución, les gusta darle una interpretación intuitiva para que puedan llegar a esa solución sin Toda la maquinaria. Esto les permite resolver otros problemas similares, o incluso problemas en los que esa solución en particular es solo un peldaño hacia una solución.

También hay razones prácticas a veces, donde los físicos (o ingenieros financieros) adoptan un modelo más simple para que puedan jugar con él, calibrarlo más fácilmente, en lugar de usar el modelo correcto, que podría no ser solucionable por razones puramente técnicas (por ejemplo, ausencia de una fórmula cerrada para un PDE).

Además, recuerde que a menudo las ecuaciones simples no están ahí para resolver problemas prácticos, sino más bien para proporcionar intuición y formalizar una teoría general. Si bien las ecuaciones feas que se están utilizando para problemas reales de la vida real suelen ser tan complicadas que solo las computadoras pueden usarlas, y lo hacen razonablemente bien. En finanzas, esto se ilustra con el PDE de Black-Scholes, que proporciona un marco, una teoría y es bueno como un bloque de construcción, pero en la mayoría de los casos los PDE que surgen naturalmente son mucho más complicados y solo pueden resolverse mediante computadoras.

Lo son, ¿por qué nadie me lo dijo?

En serio, has aprendido algunas ecuaciones en la escuela secundaria, y algunas de ellas pueden parecer muy simples y, sin embargo, parecen tener una gran importancia, pero al igual que con muchas de las cosas que aprendes en la escuela secundaria, la mayor parte es solo una indicación de algo mucho más complejo.

La mayoría de las ecuaciones que aprendiste son simplificaciones de casos mucho más complejos.

Has aprendido cosas como:
[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]
Pero en realidad es:
[matemáticas] F = \ frac {dp} {dt} [/ matemáticas]

Aprendiste [matemáticas] p = mv [/ matemáticas]
Pero en realidad es [matemáticas] p = \ frac {d L} {d \ frac {dx} {dt}} [/ matemáticas]
Donde L es un lagrangiano, un objeto del que no aprendes en la escuela secundaria.

Aprende que la cantidad de energía requerida para calentar es [matemática] Q = cm \ delta T [/ matemática] pero esto es simplemente una simplificación de la fórmula real: [matemática] Q = \ int_ {T_ {in}} ^ { T_ {out}} C_V m [/ math], donde este [math] C_V [/ math] no necesita ser constante (en función de la temperatura) en absoluto.

Estoy bastante seguro de que para cualquier fórmula que piense que es asombrosa y simple, puedo demostrar que es simplemente una simplificación de una fórmula mucho más compleja. Es una complejidad que no siempre (en los casos interesantes, sí importa), y es algo que realmente no necesita (o no tiene las herramientas para) entender, por lo que lo omiten.

Al final, solo se le ha mostrado una pequeña información simplificada. No digo que estas fórmulas no sean asombrosas, pero tenga en cuenta que el mundo es mucho más complejo, requiere ecuaciones mucho más complejas, a veces incluso ecuaciones que no conocemos, porque no las hemos resuelto.

Las ecuaciones asombrosas son simples porque estamos asombrados cuando podemos reducir un problema a tal simplicidad. Una ecuación simple reduce el problema a lo esencial, por ejemplo, F = ma, pero eso se aplica a una partícula aislada y una fuerza neta. Los problemas prácticos implican una gran cantidad de factores complicados.

Hay muchas buenas respuestas aquí. Por otro lado, también debes tener cuidado con el ejemplo de precaución de Feynman.

Deje que [math] \ psi [/ math] sea la función de onda del universo. Deje que [math] \ mathbf {U} [/ math] sea el operador “no mundano”, que tiene un valor propio de cero para las funciones de onda correctas y valores propios mayores que cero para funciones de onda incorrectas.

Luego tenemos la siguiente ecuación para el universo:

[math] \ mathbf {U} \ psi = 0 [/ math].

Podríamos imaginar que tenemos algo simple y hermoso.

Lamentablemente no dice nada. Tendría que expandirlo un poco antes de poder trabajar en él.

Eso pasa mucho.

No creo que sea realmente asombroso. La mayor parte se deduce naturalmente de la forma en que definimos las cosas, dadas las construcciones básicas en matemáticas y sistemas de unidades utilizados en física, no es sorprendente que obtengamos ecuaciones tan simples. Es decir, por diseño, algunos de los conceptos más sexys tienen descripciones matemáticas simples.

Si quieres, dame un ejemplo de algo que consideres una ecuación enorme y aburrida y puedo decirte por qué tiene que ser así.

Considere la posibilidad de que haya algunas ecuaciones realmente sorprendentes que no son para nada simples, pero que tampoco:

  1. no eres consciente de ellos;
  2. no puede comprenderlos ni apreciarlos, por lo que no le parecen tan asombrosos; o
  3. Una gran parte de lo que te hace pensar que una ecuación es asombrosa es su simplicidad, por lo que, por supuesto, todas las ecuaciones asombrosas son simples.

Sospecho que la respuesta se encuentra en (al menos) una de estas tres direcciones.

Cuando comienzas a entender algo muy bien, comienza a parecer simple.

La trignometría, el número complejo, la noción de e, e elevando a un número complejo, pi, etc., todos tienen la complejidad de la identidad de Euler para hacerlo tan simple e ^ (pi.i) + 1 = 0.

Alguien que no tiene la capacidad de comprender la complejidad y la belleza de toda la complejidad detrás de la cortina no entenderá la belleza de la identidad de Euler.

de hecho, una película, pintura o cualquier otra forma de arte bien hecha, se ve tan elegante y simple, porque los artistas detrás de ellas están consumiendo todas las complejidades. Lo mismo ocurre con las matemáticas y la ciencia.

Creo que es por POR QUÉ nos asombran. Cuando los científicos o ingenieros intentan resolver algo muy difícil y resolver el problema con una fórmula muy complicada, nadie se sorprende.

Sin embargo, cuando alguien intenta resolver problemas difíciles y la fórmula resulta ser muy simple, como E = mc ^ 2 o V = IR, es sorprendente. Porque es sorprendente que algo tan abstracto o difícil pueda describirse tan fácil y limpiamente.

Esta es la primera vez que respondo … pero quería opinar sobre mi opinión.

Mi respuesta sería porque los elementos fundamentales de la naturaleza y, por extensión, los principios de las matemáticas, son en sí mismos simples. Cuando intentas usar estas unidades elementales simples para derivar el comportamiento de muchos elementos, se vuelven complejas, y las simplificaciones y suposiciones a menudo se usan para hacer que los problemas sean más accesibles.

De la misma manera que las letras individuales del alfabeto pueden representar estos elementos o principios fundamentales, y el alfabeto en sí mismo puede representar la colección completa de todos ellos, en sí mismos son discretamente simples. Sin embargo, se pueden combinar para formar cosas infinitamente más complejas al formar palabras, oraciones, párrafos, capítulos, libros, bibliotecas, etc.

Entonces, si bien el comportamiento de un electrón es relativamente simple y elocuente, el comportamiento de un sistema de entidades es más difícil de cuantificar y expresar. Consideramos que lo fácilmente observable es mundano porque es fácilmente observable. Yo diría que las fuerzas fundamentales de la naturaleza son lo mundano, y el viento, la lluvia, la vida y todo lo demás es asombroso y exótico.

Para citar al Prof. Allan Adams, MIT, que se refiere a la mecánica cuántica, pero creo que se aplica igualmente a este tema:

“Estas son propiedades de todo lo que te rodea. El milagro no es que los electrones se comporten de manera extraña. El milagro es que cuando tomas 10 ^ 27 electrones, se comportan como el queso”.

Hay ecuaciones que son asombrosas porque son complejas. Busque las aproximaciones de Ramanujan de pi, por ejemplo

Es porque son muy naturales. Es decir, representan formas geométricas naturales. Johannes Kepler lo dijo mejor: “La geometría tiene dos grandes tesoros; uno es el Teorema de Pitágoras”. El otro … la relación extrema y media. Por ejemplo, si tuviéramos que ver la forma del universo Big Bang como 1/4 de sección de un “cono” con un ‘aumento’ igual a la edad del universo o 1.30548 x 10 ^ 26m, y un ‘recorrido’ igual a 1.519944 x 10 ^ 27m, entonces el radio de combinación será igual a 4.4545 x 10 ^ 26m, y la “pendiente” de la sección cónica será igual a 1.525540 x 10 ^ 27m.

Además, (4.4545 x 10 ^ 26m – la media / 1.30548 x 10 ^ 26m – el extremo menor) = (1.519944 x 10 ^ 27m – el extremo mayor / 4.4545 x 10 ^ 26m – la media).