¿Qué hace que las ecuaciones diferenciales no lineales sean difíciles de resolver analíticamente?

Answer 1

En realidad, esto es más sutil de responder de lo que había pensado inicialmente, por lo que será suficiente para mí decir, por ahora, que son difíciles de resolver analíticamente porque solo hay tantas funciones que podemos construir con combinaciones finitas de un número finito de funciones elementales (es decir, las [matemáticas] +, -, \ veces, \ div, \ exp, \ ln, \ sin, \ cos, \ tan, \ dots [/ math] habituales). La mayoría de las fórmulas que puede escribir en términos de estas funciones aplicadas a varias variables simbólicas simplemente no tienen integrales en términos de funciones elementales.

Como consecuencia, ciertas integrales interesantes que surgen en la física (o en otros lugares) son tratadas como funciones (¡perfectamente legítimas!) Y reciben sus propios nombres. Por ejemplo, definir algo como la integral senoidal [matemática] \ nombre de operador {Si} (x) = \ int_0 ^ x \ frac {\ sin t} {t} dt [/ matemática] está perfectamente bien y aparece en óptica y señal procesamiento, si no me equivoco. Tiene la propiedad de que [math] f ^ \ prime (x) = \ frac {\ sin x} {x} = \ operatorname {sinc} (x) [/ math].

Curiosamente, a menudo está bien integrar una serie infinita (término por término, siempre que los términos sean manejables), pero debe tener mucho cuidado con las condiciones si desea diferenciar una.

Answer 2

Un buen aspecto de las ecuaciones diferenciales lineales es que el conjunto de soluciones forma un espacio vectorial (es decir, si f y g son soluciones, también lo es f + g). Armado con este hecho, es más fácil aplicar los resultados del análisis funcional para deducir cosas como la existencia y la singularidad.

Answer 3

Todos menos un pequeño puñado de ecuaciones diferenciales son difíciles de resolver, ya sean lineales o no lineales. Sin embargo, muchas de las ecuaciones simples tienden a ser lineales, pero eso no debería ser sorprendente porque las ecuaciones lineales (diferenciales o de otro tipo) son mucho menos complejas, en general, que las no lineales. Una característica distintiva de las ecuaciones lineales es que cada término en cualquier ecuación lineal va a ser del mismo orden (excepto posiblemente un término de orden 0) que elimina la complicación muy significativa de tener que lidiar con un polinomio.

Answer 4

Una de las características más importantes de un DEQ no lineal es que la gráfica del conjunto de soluciones es discontinua, estar cerca en el espacio de dominio no significa de ninguna manera cercanía en el espacio de rango. En el cálculo, la derivada de una función existe si la función es continua. Las funciones caóticas son discontinuas.