¿Cuál es la ecuación de un círculo en el que se encuentra el punto A (4,6), tiene una tangente 4x-3y-16 = 0 y el centro del círculo se encuentra en el eje 0, y?

Answer 1

Las dos variables clave que necesita resolver son
r radio del círculo
e y = coordenada del centro
http://m.wolframalpha.com/input/…

Esto da la solución a las dos ecuaciones clave,
El primero proviene de escribir una ecuación para el punto tangente (X, Y) en el centro
Es decir, el radial
Tenga en cuenta que la pendiente radial (-3/4) es perpendicular a la pendiente tangente = 4/3
X = 4r / 5
Y = y-3r / 5
Sustituir en 4X -3Y = 16
Para obtener
5r-3y = 16

Sustituyendo el punto A en la ecuación por el círculo
Da
4 ^ 2 + (6-y) ^ 2 = r ^ 2

Entonces resuelve

http://m.wolframalpha.com/input/…

La solución obvia es con un círculo pequeño radio 5 centro y = 3

En la reflexión, puede ver esta solución simplemente dibujando el círculo y observando que el punto tangente está en el eje x (simetría de líneas radiales sobre y = 3)

La solución menos obvia tiene un círculo grande con el punto tangente arriba de A
y = 87/4

Método de solución
5r = 16 + 3 años
Entonces
(5r) ^ 2 = (16 + 3y) ^ 2…. (1)

16+ (6-y) ^ 2 = r ^ 2… .. (2)
x25

400 + (30-5y) ^ 2 = (5r) ^ 2 (3)
Igualar (1) y (3)
400 = (16 + 3y) ^ 2 – (30-5y) ^ 2
Producto de identidad de dos cuadrados
400 = (46-2 años) (- 14 + 8 años)
/ 4
100 = (23 años) (- 7 + 4 años)
100 = -161 + 7y + 92y -4y ^ 2
4 años ^ 2-99 años + 261 = 0

y = [99 + -sqrt (9801-16 × 261)] / 8
y = [99 + -75] / 8
O
(y-3) (4y-87) = 0

Answer 2

Deje x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0

Dado que el centro se encuentra en el eje y g = 0 y el centro = (0, -f)

El círculo pasa por A (4,6). Por lo tanto

4 ^ 2 + 6 ^ 2 + 12f + c = 0

es decir, 12f + c = -52

distancia del centro a la línea 4x-3y-16 = radio.

\ dfrac {\ 3f-16 |} {5} = \ sqrt {f ^ 2-c}

la simplificación da una ecuación cuadrática [matemática] 4f ^ 2 + 99 f + 261 = 0 [/ matemática]

Resolver la ecuación cuadrática resultante conduce a f = -3 o [matemáticas] \ frac {-87} {4} [/ matemáticas]

las ecuaciones correspondientes son

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2-6y-16 = 0 [/ matemáticas]

y [matemáticas] 2x ^ 2 + 2y ^ 2–87 y + 418 = 0 [/ matemáticas]

Answer 3

Dado que el punto A (4, 6) no se encuentra en la tangente 4x – 3y – 16 = 0, la pregunta tiene algo mal. Sin embargo, el siguiente método ignora este defecto y simplemente muestra la forma de abordar este tipo de problema asumiendo que todo es correcto. Corrígeme si interpreté la pregunta incorrectamente.

La línea L1 que pasa por el centro (0, y ‘) y A (4, 6) es perpendicular a la tangente L: 4x – 3y – 16 = 0

Para ello obtenemos L1: 3 (x – 4) + 4 (y – 6) = 0

como el centro (0, y ‘) se encuentra en L1, obtenemos 3 (0 – 4) + 4 (y’ – 6) = 0

implica que y ‘= 9, es decir, el centro es (0, 9)

y así podemos calcular el radio r = sqrt [(4 – 0) ^ 2 + (6 – 9) ^ 2] = 5

La ecuación del círculo C: (x – 0) ^ 2 + (y – 9) ^ 2 = 5 ^ 2