La última ecuación parece ser la de la forma que realmente necesita para poder resolver. El resto que tal vez desee obtener debe seguirlo de manera bastante directa. Esencialmente, la forma es
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t} + p (t) \ omega (t) = q (t) [/ math],
donde [math] \ omega (t) [/ math] es la función desconocida para la que necesita resolver, y el resto se dan, de una forma u otra.
Esta forma de problema, si la observa lo suficientemente cerca, parece que podría estar relacionada con la regla de diferenciación del producto. Es decir, hay algo de [matemática] I (t) [/ matemática] tal que la ecuación diferencial es realmente
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[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (I (t) \ omega (t) \ right) = F (t) [/ math],
donde [matemática] F (t) [/ matemática] involucra la [matemática] q (t) [/ matemática] dada así como [matemática] I (t) [/ matemática].
Expande el lado izquierdo y tenemos
[matemáticas] I (t) \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} t} \ omega (t) = F (t) [/ matemáticas]
que se parece un poco más a lo que comenzamos. Dividámonos entre [matemáticas] I (t) [/ matemáticas] y veamos si no podemos masajearlo un poco mejor:
[matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t} + \ frac {I ^ \ prime (t)} {I (t)} \ omega (t) = \ frac {F (t)} {I (t)} [/ matemáticas].
Esta es ahora la misma forma que antes, excepto que tenemos [matemáticas] p (t) = \ frac {I ^ \ prime (t)} {I (t)} [/ matemáticas] y [matemáticas] q (t) = \ frac {F (t)} {I (t)} [/ math].
Pero esto es bueno. La ecuación para [math] p (t) [/ math] nos informa que [math] I ^ \ prime (t) = p (t) I (t) [/ math], lo que sugiere que realmente tenemos [math] I (t) = e ^ {\ int p (t) \ mathrm {d} t} [/ math]. Distinga esto usando la regla de la cadena para verificar que esto funciona, siempre y cuando pueda encontrar alguna (cualquier) antiderivada de [math] p (t) [/ math].
Esta función [matemáticas] I (t) [/ matemáticas] se llama factor integrador . Dada una ecuación diferencial de la forma original (es decir, dada [matemática] p (t) [/ matemática]), puede construir [matemática] I (t) [/ matemática] para que todo el lado izquierdo se convierta en un total derivado. Una derivada total es trivial para integrar:
[matemáticas] \ int \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left (I (t) \ omega (t) \ right) \ mathrm {d} t = I (t) \ omega (t) [/ matemáticas].
El lado derecho es un asunto ligeramente diferente. Tenga en cuenta que [math] F (t) = I (t) q (t) [/ math] y queremos encontrar [math] \ int F (t) \ mathrm {d} t [/ math]. A menudo, los problemas en los cursos se eligen para que este término pueda integrarse mediante las técnicas que ya conoce (integración por partes, sustitución, etc.).
La solución final es simplemente reorganizar algebraicamente para aislar la función [math] \ omega (t) [/ math] en el lado izquierdo y el resto, suponiendo que pueda integrar [math] p (t) [/ math] antes (presumiblemente habría sido elegido para ser integrable también), es una función explícita de [math] t [/ math] y debe involucrar una constante arbitraria, que se puede encontrar usando su condición inicial.