¿Cómo resolvería esto? Encuentre las soluciones específicas para la ecuación diferencial, [matemática] \ frac {dy} {dx} = x ^ 4 + x + \ frac {3x ^ 2y} {x ^ 3 + 1} [ / matemáticas], entonces y = 7 cuando x = 1?

Answer 1

Primero, reorganice la ecuación de la siguiente manera: [math] \ dfrac {dy} {dx} – \ dfrac {3x ^ 2} {x ^ 3 + 1} y = x (x ^ 3 + 1) [/ math].

Como una antiderivada de [math] – \ dfrac {3x ^ 2} {x ^ 3 + 1} [/ math] es [math] – \ ln (x ^ 3 + 1) [/ math], el factor de integración es [ matemáticas] e ^ {- \ ln (x ^ 3 + 1)} = (x ^ 3 + 1) ^ {- 1} [/ matemáticas].

Multiplicando ambos lados de la ecuación por los rendimientos del factor integrante:
[matemáticas] (x ^ 3 + 1) ^ {- 1} \ dfrac {dy} {dx} – 3x ^ 2 (x ^ 3 + 1) ^ {- 2} y = x [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 3 + 1) ^ {- 1} \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {d} {dx} \ left [(x ^ 3 + 1) ^ {- 1} \ right] y = x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [(x ^ 3 + 1) ^ {- 1} y \ right] = x [/ math]

Integre para obtener [matemáticas] (x ^ 3 + 1) ^ {- 1} y = \ dfrac {1} {2} x ^ 2 + C [/ matemáticas] para alguna constante [matemáticas] C [/ matemáticas].

Luego, resuelve [math] y (x) [/ math]. Para descubrir la solución específica requerida, conecte [math] y = 7 [/ math] y [math] x = 1 [/ math], y resuelva para [math] C [/ math].

Answer 2

Podemos escribir la ecuación diferencial de la siguiente manera:
dy / dx – (3 x ^ 2 y) / (x ^ 3 + 1) = x (x ^ 3 + 1) ———————> 1

Este es un DE lineal de la forma dy / dx + Py = x

El factor integrador es e ^ integral de ((3 x ^ 2 y) / (x ^ 3 + 1)) dx
Esto se simplifica a e ^ (-ln (x ^ 3 + 1) = 1 / (x ^ 3 + 1) ————–> 2

Multiplicamos LHS y RHS por el IF, obtenemos:

d (y / (x ^ 3 + 1)) = (x (x ^ 3 + 1) * 1 / (x ^ 3 + 1)) dx ——————–> 3

Integrando 3 en ambos lados obtenemos:
y / x ^ 3 + 1 = Integral de x dx

y / (x ^ 3 + 1) = x ^ 2/2 + c

o

y = (x ^ 2 (x ^ 3 + 1)) / 2 + c (x ^ 3 + 1)

Poniendo el valor inicial condiciona y = 7 cuando x = 1 obtenemos el valor de c = 3

entonces la solución completa es: y = (x ^ 2 (x ^ 3 + 1)) / 2 + 3 (x ^ 3 + 1)

Answer 3

Esta fue una buena pregunta

Echa un vistazo a la solución del problema anterior