Cómo resolver [math] y ‘+ \ frac {y} {x} = \ ln x [/ math]

Answer 1

Esta es una EDO no homogénea lineal. Hay formas estándar de resolverlo, pero aquí usamos algunos trucos (sin involucrar el factor de integración) para encontrar su solución.
[matemáticas] \ displaystyle {y ‘+ \ frac {y} {x} = \ mathrm {ln} x} [/ math]

Multiplica ambos lados por [matemática] x [/ matemática] la ecuación se convierte en:
[matemáticas] \ displaystyle {xy ‘+ y = x \ mathrm {ln} x} [/ math]

Tenga en cuenta que [math] (xy) ‘= xy’ + y [/ math] entonces tenemos:
[math] (xy) ‘= x \ mathrm {ln} x [/ math]
o
[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (xy)} {\ mathrm {d} x} = x \ mathrm {ln} x} [/ math]
entonces
[matemáticas] \ displaystyle {\ mathrm {d} (xy) = x \ mathrm {ln} x \ mathrm {d} x} [/ math]

Al integrar ambos lados, obtenemos:
[matemáticas] \ displaystyle {xy = \ int x \ mathrm {ln} x \ mathrm {d} x = \ frac {1} {2} \ int \ mathrm {ln} x \ mathrm {d} x ^ 2 = \ frac {1} {2} x ^ 2 \ mathrm {ln} x – \ frac {1} {2} \ int x ^ 2 \ mathrm {d} \ mathrm {ln} x = \ frac {1} {2} x ^ 2 \ mathrm {ln} x – \ frac {1} {2} \ int x \ mathrm {d} x = \ frac {1} {2} x ^ 2 \ mathrm {ln} x – \ frac {1 } {4} x ^ 2 + C} [/ matemáticas]
donde [matemáticas] C [/ matemáticas] es constante

Finalmente la solución general es:
[matemáticas] 4xy + x ^ 2 + 2x ^ 2 \ mathrm {ln} x = constante \ qquad (x> 0) [/ math]

Answer 2

La ecuación dada es una ecuación diferencial lineal de primer orden, la solución es la siguiente

Answer 3

[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} + \ dfrac {1} {x} \ cdot y = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = uv [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {d (uv)} {dx} + \ dfrac {1} {x} \ cdot uv = \ ln x [/ math]

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} + v \ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {1} {x} \ cdot uv = \ ln x [/ math]

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} + v (\ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {u} {x}) = \ ln x [/ matemáticas]

let [matemáticas] \ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {u} {x} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {du} {dx} = – \ dfrac {u} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {du} {u} = – \ dfrac {1} {x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ dfrac {du} {u} = – \ int \ dfrac {1} {x} \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln u = – \ ln x + C [/ matemáticas]

[matemáticas] u = e ^ {- \ ln x + C} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ C = k [/ matemáticas]

[matemáticas] u = \ dfrac {k} {x} [/ matemáticas]

ecualizador original:

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} + v (\ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {u} {x}) = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] u \ dfrac {dv} {dx} = \ ln x [/ matemáticas] (ya que [matemáticas] \ dfrac {du} {dx} + \ dfrac {u} {x} = 0 [/ matemáticas])

[matemáticas] \ dfrac {k} {x} \ dfrac {dv} {dx} = \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {1} {k} x \ ln x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \, dv = \ dfrac {1} {k} \ int x \ ln x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} \ int x \ ln x \, dx [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e ^ t [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = e ^ t \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} \ int e ^ t \ cdot e ^ t \ ln e ^ t \, dt [/ math]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} \ int e ^ {2t} t \, dt [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} (t \ int e ^ {2t} \, dt- \ iint e ^ {2t} \, dt \, dt) [/ math]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} (\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ int \ dfrac {e ^ {2t}} {2} \, dt) [/ math]

[matemáticas] v = \ dfrac {1} {k} (\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ dfrac {e ^ {2t}} {4}) + C_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = uv = \ dfrac {k} {x} \ cdot (\ dfrac {1} {k} (\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ dfrac {e ^ {2t}} { 4}) + C_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {x} \ cdot (\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ dfrac {e ^ {2t}} {4}) + k \ cdot C_2 [/ math ]

[matemáticas] k \ cdot C_2 = z [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {\ dfrac {te ^ {2t}} {2} – \ dfrac {e ^ {2t}} {4} + z} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {\ dfrac {e ^ {2 \ ln x} \ ln x} {2} – \ dfrac {e ^ {2 \ ln x}} {4} + z} {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {\ dfrac {x ^ 2 \ ln x} {2} – \ dfrac {x ^ 2} {4} + z} {x} [/ matemáticas]

Answer 4

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} + \ frac {y} {x} = \ ln (x) [/ matemáticas]

Esta es una ecuación lineal de la forma [matemáticas] \ frac {dy} {dx} + P (x) y = Q (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] P (x) = \ frac {1} {x}, Q (x) = \ ln (x) [/ matemáticas]

El IF es [matemática] e ^ {\ int P (x) dx} [/ matemática]

[matemáticas] e ^ {\ int \ frac {dx} {x}} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {\ ln (x)} [/ matemáticas]

[matemáticas] x [/ matemáticas]

La solución es, [matemática] ye ^ {\ int P (x) dx} = \ int Q (x) e ^ {\ int P (x) dx} dx [/ math]

[matemáticas] yx = \ int \ ln (x) x dx [/ matemáticas]

Para encontrar este uso integral,

[matemáticas] \ int x ^ m \ ln (x) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {m + 1} (\ frac {\ ln (x)} {m + 1} – \ frac {1} {(m + 1) ^ 2}) + C [/ matemáticas]

Si [matemáticas] m = 1, [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (\ frac {\ ln (x)} {2} – \ frac {1} {4}) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (\ ln (\ sqrt {x}) – \ ln (\ frac {1} {e ^ 4})) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 (\ ln (\ sqrt {x}) + \ ln ({e ^ 4})) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 \ ln (\ sqrt {x} e ^ 4) + C [/ matemáticas]

Entonces tenemos,

[matemáticas] yx = x ^ 2 \ ln (\ sqrt {x} e ^ 4) + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = x \ ln (\ sqrt {x} e ^ 4) + C [/ matemáticas]

Answer 5

La solución general es y = (1/2) x ln x – (x / 4) + (C / x)

Demasiado difícil para mí mostrar mi trabajo pero el método es usar un factor integrador. El factor de integración es e a la integral de 1 / x que es e a ln x que es igual a x. Multiplique cada término en la ecuación por el factor integrante.

La ecuación se convierte en xy = la integral de x ln x dx.

El lado derecho se puede hacer utilizando la integración por partes.

La solución se encuentra dividiendo ambos lados entre x para obtener la solución de la forma y = f (x) + C

Answer 6

No estoy seguro del aspecto de la programación, pero en lo que respecta a las matemáticas, esta es una ecuación diferencial lineal de la forma

dy / dx + Py = Q

Y su solución es

y. (IF) = integral (Q. (IF) dx)

Donde IF es e ^ {Pdx integral}.

Answer 7