Cómo probar el proceso de movimiento [matemático] p [/ matemático] descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales es ‘elipse’ en el plano [matemático] xy [/ matemático]

Answer 1

La pregunta pide la clasificación geométrica de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden acopladas semilineales. Dichas clasificaciones están claramente definidas para sistemas lineales de segundo orden simples y desacoplados, pero son más complicadas para sistemas más grandes como este (reglas clásicas de continuidad y conservación del momento en flujos incompresibles de Navier Stokes).

Las técnicas de clasificación utilizan métodos que no utilizan la manipulación algebraica bruta. Pero poner descripciones accesibles están bastante más allá de mi umbral. Hay libros dedicados al estudio de este sistema en particular.

La solución requiere una construcción de la ecuación característica del sistema al forzar que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea cero. En el caso de Navier Stokes, encontramos cuatro raíces complejas y dos ceros repetidos. Esto indica que el sistema es elíptico.

Aquí hay un breve resumen de cómo se obtiene la matriz de coeficientes. Las ecuaciones 1 reformulan las ecuaciones de Navier Stokes y las ecuaciones de continuidad en términos de todas las variables de fase del sistema para crear la forma [matemáticas] \ bigg (\ textbf {A} \ frac {dy} {dx} – \ textbf {B} \ bigg) \ cdot \ textbf {L} = 0 [/ math]). Tenga en cuenta que este proceso es similar a cómo se obtienen las expresiones para las representaciones del espacio de estados en los sistemas de control (se utilizan para el mismo propósito: el examen de trayectorias continuas y el establecimiento de su estabilidad / geometría), 1a, 1c y 1d incluyen información de las variables auxiliares ,

Para una ecuación característica no trivial, el determinante de la matriz 6 × 6 en la ecuación. 3 debería ser cero. Esto da,
[matemáticas] – \ frac {\ mu} {\ rho ^ 2} (\ partial / \ partial y) ^ 2 ((\ partial / \ partial x) ^ 2 + (\ partial / \ partial y) ^ 2) ^ 2 = 0 [/ matemáticas],
que es equivalente a
[matemática] S ^ 2 (S ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 [/ matemática], donde [matemática] S = (\ parcial y / \ parcial x) [/ matemática].

S tiene cuatro raíces complejas y una raíz igual a 0; estos no cumplen los criterios para los sistemas hiperbólicos o parabólicos, y la presencia de cuatro raíces complejas es indicativa de sistemas elípticos.

Se pueden encontrar mejores discusiones en las siguientes referencias:
Página en lehigh.edu
Página en Mathik.uni-dortmund.de
Página en hmg.inpg.fr
Página en leeds.ac.uk

Estas preguntas son esenciales para comprender los argumentos utilizados para construir modelos numéricos (elementos finitos / sistemas de volumen) de interacciones multidimensionales de campo continuo que se encuentran en electrostática / dinámica, sistemas de fluidos, teoría de la elasticidad / mecánica de continuum …

Answer 2

Creo que una manera más directa (y mucho menos rigurosa) de mostrar esto es mediante la introducción de un término de pseudo tiempo de marcha que se aproxima a cero a medida que el pseudo tiempo tiende al infinito.

Suponga que [math] \ mathbf {u ^ \ star} [/ math] es una solución a la ecuación de Navier-Stokes que no satisface la continuidad:

[matemática] \ mathbf {u ^ \ star} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ \ star}) = – \ frac {1} {\ rho} \ nabla p ^ \ star + \ frac {\ mu} { \ rho} \ nabla ^ 2 \ mathbf {u ^ \ star} [/ math]

Ahora agreguemos un pseudo término de marcha temporal de un campo de velocidad [math] \ mathbf {u ^ {\ star \ star}} [/ math]. Tenga en cuenta que esta suposición supone que el término va a cero como [math] t \ to \ infty [/ math].

[matemáticas] \ frac {\ partial \ mathbf {u ^ {\ star \ star}}} {\ partial t} = – \ frac {1} {\ rho} \ nabla p – \ mathbf {u ^ \ star} ( \ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ \ star}) + \ frac {\ mu} {\ rho} \ nabla ^ 2 \ mathbf {u ^ \ star} [/ math]

Dado que se proporciona el campo de velocidad [math] \ mathbf {u ^ {\ star}} [/ math], podemos organizar todos los términos que lo contienen y sus derivados bajo algo que llamaremos [math] \ Omega [/ math], es decir

[matemáticas] \ Omega = – \ mathbf {u ^ \ star} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ \ star}) + \ frac {\ mu} {\ rho} \ nabla ^ 2 \ mathbf {u ^ \ estrella} [/ matemáticas]

y

[math] \ frac {\ partial \ mathbf {u ^ {\ star \ star}}} {\ partial t} = \ Omega – \ frac {1} {\ rho} \ nabla p] [/ math]

Sin embargo, el campo de presión aún se desconoce. Deseamos encontrar un campo de presión tal que se satisfaga la continuidad. Aplica la divergencia en la ecuación anterior y obtienes

[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial t} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ {\ star \ star}}) = \ nabla \ cdot \ Omega – \ nabla ^ 2 p [/ math]

Pero [math] \ nabla \ cdot \ Omega [/ math] es cero porque [math] \ Omega [/ math] es solo una constante, y luego la ecuación de presión se convierte en

[matemáticas] \ nabla ^ 2 p = – \ frac {\ partial} {\ partial t} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ {\ star \ star}}) [/ math]

que es elíptico para la presión (ecuación de Poisson). Tenga en cuenta que, a medida que se toman las iteraciones (es decir, se dan mejores valores adivinados de [math] \ mathbf {u ^ {\ star}} [/ math], mejor es la aproximación y [math] \ nabla \ cdot \ mathbf {u ^ {\ star \ star}} [/ math] está más cerca de cero (y por lo tanto satisface la continuidad), y la ecuación de Poisson para la presión se vuelve homogénea.

Además, tenga en cuenta que [math] \ mathbf {u ^ {\ star \ star}} [/ math] es un valor corregido para [math] \ mathbf {u ^ {\ star}} [/ math] y, por lo tanto, el ” siguiente conjetura “para una solución al NS y las ecuaciones de continuidad.

Así es básicamente cómo funciona cada algoritmo de corrección de presión para resolver numéricamente la ecuación de Navier-Stokes. (Tenga en cuenta que la “prueba” comenzó asumiendo que la convergencia se logra como [math] t \ to \ infty [/ math], es decir, [math] \ frac {\ partial \ mathbf {u ^ {\ star \ star}}} {\ parcial t} \ a 0 [/ matemáticas]).