¿Cuál es la prueba de la historia de la identidad [matemáticas] (1 + 2 + \ ldots + n) ^ 2 = 1 ^ 3 + 2 ^ 3 + \ ldots + n ^ 3? [/ Matemáticas] Educación te da un futuro mejor

] Quora no permitirá múltiples respuestas. Así que probaré esas dos identidades en una publicación.
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Primero probaré la identidad original usando una historia.

entonces piense en enteros de 1 a (n + 1). Sacaremos de estos números dos veces. En cada ronda, elegiremos dos números. Entonces, en la primera ronda, elige dos números primero. Hay (n + 1) elegir 2 formas. Luego pase a la ronda seonc, elija dos números nuevamente, pero esta vez, podría coincidir con las elecciones de la ronda anterior. Por ejemplo, si elige 2,7 en la primera ronda, está bien elegir 2 y 7 nuevamente o 2 y 8. Hay (n + 1) elegir 2 formas nuevamente. Entonces, para elegir los cuatro números hay [(n + 1) elegir 2] formas cuadradas. (Tenga en cuenta que el orden dentro de cada ronda NO importa, pero el orden entre dos rondas importa. Así que estamos dibujando un par ordenado de conjuntos de dos elementos)
Ahora considere esto desde una perspectiva diferente. Hay tres situaciones en las que dibuja 4 números distintos, 3 números distintos (2 números son iguales) o 2 números distintos (2 pares)
4 números distintos. Hay (n + 1) elegir 4 formas de elegir los números. Después de decidir sobre los cuatro números, hay (4 elegir 2 = 6) formas de asignarlos en las dos rondas.
3 números distintos. hay (n + 1) elegir 3 formas de elegir el número. Condicional a los números, hay 6 formas de asignarlos: elija el número que se dibujará en ambas rondas (3 formas), asigne los 2 números restantes en las dos rondas.
2 números distintos. hay (n + 1) elegir 2 formas de elegir el número. Dado el número, hay una forma única de asignar los números en los dos sorteos.
Sumando los tres casos disjuntos, obtienes el RHS.
forma divertida de comenzar la mañana. Gracias a Joe Blitzstein por la interesante pregunta.
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ahora la identidad en el título de la pregunta.
Considere un triángulo de n filas. Contamos la fila de arriba a abajo. Fila superior un número, segunda fila dos números distintos y fila inferior n números distintos. Elegiremos 2 números del triángulo con reemplazo.

Una forma de hacer esto es tratar cada número en el triángulo como distinto, y hay 1 + 2 + … + n de ellos. hay (1 + 2 + n) ^ 2 formas de elegir.

Otra perspectiva es mucho más compleja. Usamos la notación (i, j) para denotar el elemento i-ésimo de la fila j. Tenga en cuenta que i no es mayor que j. Entonces dibuje [math] J = (i_1, j_1); \; (i_2, j_2) [/ math]
Condicionamos cuál es la fila más baja (con el número de fila más grande) de la que se extraen estos dos números. es decir [matemáticas] \ max (j_1, j_2) [/ matemáticas]
Ahora dibujamos los dos números. la secuencia importa aquí. Dos formas de pensarlo aquí. La primera forma considera dos casos:
1. el primer sorteo viene de la fila J. Luego hay J números para elegir. En cuanto al segundo número. Primero elegimos la fila k, y para cada fila k tenemos k números para elegir la forma. es decir (1 + 2 + … + J) formas de elegir el segundo número. Juntos, hay formas J (1 + 2 +… + J)
2. el primer sorteo de la fila k <J. entonces el segundo sorteo debe venir de los números de la fila J. J para elegir. En cuanto al primer sorteo, condicional en la fila k, hay k números para elegir, es decir (1 + 2 + … + (J-1)) formas de elegir el primer número. Juntos hay formas J (1 + 2 +… + (J-1))
Sumando condicionalmente en J, tenemos
[matemáticas] J * [1 + 2 +… + J + 1 + 2 +… + (J-1)] = J \ cdot [(1 + J-1) + (2 + J-2) + \ cdots + J] = J ^ 3 [/ matemáticas]
La segunda igualdad viene de reordenar los términos.
Ahora suma todos los J = 1,2, … n juntos, obtienes el RHS.
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Una manera más simple de pensar toda la identidad es pensar marginalmente como un economista. Tenga en cuenta que el RHS es la contribución marginal de aumentar n
[matemáticas]
\ left [\ frac {(n + 1) n} {2} \ right] ^ 2- \ left [\ frac {(n-1) n} {2} \ right] ^ 2 = n ^ 3
[/matemáticas]
la ecuación debe ser bastante intuitiva: considere dos sorteos, cada sorteo tiene esa (1 + 2 +… n) posibilidades, luego elimine los que se pueden hacer con filas (n-1).