¿Cómo se puede probar la regla de divisibilidad de 7 (abajo)?

Answer 1

No soy matemático, pero permítanme darle una oportunidad a la pregunta (y usando [math] LATEX [/ math]):

Considere un [matemático] n [/ matemático] – número de dígito [matemático] x [/ matemático] como:

[matemáticas] x = 10 ^ {n – 1} a + 10 ^ {n – 2} b + 10 ^ {n – 3} c +… + 10 ^ 0d [/ matemáticas]

, para algunas constantes [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas], [matemáticas] d [/ matemáticas], donde [matemáticas] a \ neq 0 [/ matemáticas] ([matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas])

____________________________________________________________

Ahora, según la identidad,

[matemáticas] 10 ^ {n – 2} a + 10 ^ {n – 3} b + 10 ^ {n – 4} c +… – 2d = 7k [/ matemáticas], para algunas constantes [matemáticas] k [/ matemáticas ]

Multiplicando ambos lados por [matemáticas] 10 [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] 10 ^ {n – 1} a + 10 ^ {n – 2} b + 10 ^ {n – 3} c +… – 20d = 70k [/ matemáticas]

Disociación [matemática] – 20d [/ matemática] como [matemática] – 21d + d, [/ matemática]

[matemáticas] (10 ^ {n – 1} a + 10 ^ {n – 2} b + 10 ^ {n – 3} c +… + d) – 21d = 70k [/ matemáticas] ([matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas])

Ahora, desde ([math] {\ color {red} 1} [/ math]),

[matemáticas] x = 10 ^ {n – 1} a + 10 ^ {n – 2} b + 10 ^ {n – 3} c +… + 10 ^ 0d [/ matemáticas]

Haciendo la sustitución en ([math] {\ color {red} 2} [/ math]) arriba,

[matemáticas] x = 21d + 70k [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 7 (3d + 10k) [/ matemáticas] O R

[matemáticas] x [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] 7 [/ matemáticas]

O , para responder la pregunta, [matemáticas] x [/ matemáticas] es divisible por [matemáticas] 7 [/ matemáticas].

QED

Espero que haya ayudado.

Answer 2

Voy a demostrarlo por un número de 4 dígitos por simplicidad. Pero se puede extender a cualquier número de dígitos usando la misma lógica.

Consideremos un número de 4 dígitos, N = 1000a + 100b + 10c + d

También se puede escribir como N = 700a + 70b + 7c + 300a + 30b + 3c + d

N = 7 (100a + 10b + c) +3 (100a + 10b + c) + d – (1)

Sumando y restando 6d en RHS de (1), obtenemos

N = 7 (100a + 10b + c) +3 (100a + 10b + c) + d + 6d-6d

N = 7 (100a + 10b + c) +3 (100a + 10b + c) + 7d-6d

N = 7 (100a + 10b + c + d) +3 (100a + 10d + c-2d)

7 (100a + 10b + c + d) es divisible por 7. Como 3 es co-primo a 7, N será divisible por 7 solo si 100a + 10b + c-2d es divisible 7. Este es el resultado requerido.

Pero al sumar y restar 14d en RHS de (1), obtenemos

N = 7 (100a + b + c) +3 (100a + 10b + c) + 15d-14d

N = 7 (100a + 10b + c-2d) +3 (100a + 10b + c + 5d)

Entonces, un número es divisible si 100a + 10b + c + 5d es divisible por 7. Esta es otra prueba de divisibilidad por 7.

Por ejemplo, 343 es divisible por 7 como 34 + 5 (3) = 34 + 15 = 49 es divisible por 7.

Pero personalmente prefiero la primera prueba (resta) ya que es más fácil multiplicar por 2.

Answer 3

Revisa este papel

https://arxiv.org/ftp/math/paper …

Proporcionan la regla general para todos los números primos hasta 1,000 incluyendo “7”.

Answer 4

Cualquier número podría representarse como 10a + b donde b <10 (último dígito) y a podría ser cualquier valor.

p.ej. 23513 = 2351 * 10 + 3 (a = 2351 yb = 3)

1. 10a + b es su número para ser probado para la divisibilidad por 7.

2. Multiplicando será 2 da 20a + 2b

la multiplicación con 2 no afectará la divisibilidad por 7 ya que son números primos (2 y 7)

p.ej. 23513 * 2/7: es bastante evidente que 2 no tendrá ningún efecto

3. Reescribiendo la expresión como 21a – a + 2b

20a = 21a – a

2351 * 10 * 2 + 3 * 2

4. 21a es claramente divisible por 7 independientemente del valor de a. Eliminarlo de la expresión da – a + 2b

[matemáticas] \ frac {2351 * 21 – 2351 + 3 * 2} {7} = 2351 * 3 + \ frac {-2351 + 3 * 2} {7} [/ matemáticas]

5. Invertir el signo da un – 2b

En la prueba de divisibilidad, revertir el signo tampoco tiene ningún efecto.

La única condición es que la diferencia sea cero o un múltiplo de 7.

14 -> 1 – 2 * 4 = -7

91 -> 9 – 2 * 1 = 7

-2351 + 3 * 2 podría reescribirse como 2351-3 * 2 = 2345

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¡Ahora, podemos repetir este proceso hasta que sea lo suficientemente pequeño como para reconocerlo!

234-10 = 224

22-8 = 14

¡claramente divisible por 7!

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Hay otro truco similar para probar la divisibilidad entre 7.

a + 5b

por qué ?

10a + b -> 50a + 5b = 49a + a + 5b -> a + 5b

23513 -> 2351 + 15

2366 -> 236 + 30

266 -> 26 + 30

56 -> 5 + 30

35 -> 3 + 25

28 -> 2 + 40

42 -> 4 + 10

14 -> 1 + 20

21 -> 2 + 5

7 7

Answer 5

Este truco funciona para todos los números primos, excepto 2 y 5. Puede ver por qué esta regla de divisibilidad funciona para todos los números primos que no sean 2 y 5 siguiendo este enlace.

http://www.ganitcharcha.com/view …

Answer 6

Para cualquier [matemática] a \ ge 1 [/ matemática] y [matemática] b \ in \ {0,1,2, \ ldots, 9 \} [/ matemática], tenga en cuenta que [matemática] 7 \ mid \ big ( 5 (10a + b) – (a-2b) \ big) [/ math].

Entonces, si [math] 7 \ mid (10a + b) [/ math], entonces [math] 7 \ mid 5 (10a + b) [/ math] y, en consecuencia, [math] 7 \ mid (a-2b) [ /matemáticas].

Por el contrario, si [matemáticas] 7 \ mid (a-2b) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 7 \ mid 5 (10a + b) [/ matemáticas], y así [matemáticas] 7 \ mid (10a + b) [/ math] como [math] \ gcd (5,7) = 1 [/ math].

Por lo tanto, [matemática] 7 \ mid (10a + b) \ Leftrightarrow 7 \ mid (a-2b) [/ math].

De hecho, podemos decir más: podemos comparar las clases de congruencia de [matemáticas] 10a + b [/ matemáticas] y [matemáticas] a-2b [/ matemáticas]. De [matemáticas] 7 \ mid \ big (5 (10a + b) – (a-2b) \ big) [/ math], tenemos

[matemáticas] a-2b \ equiv 5 (10a + b) \ pmod {7} [/ matemáticas] y [matemáticas] 10a + b \ equiv 3 (a-2b) \ pmod {7} [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 7

Si es un número de 3 dígitos, entonces usamos la fórmula que se proporciona a continuación
350 ……… .aquí 3 = a, 5 = b, 0 = c
entonces 2a + 3b + c == 21 que es divisible por 7
entonces el número entero será divisible por 7