¿Hay mapas de multiplicación no triviales [math] \ mathbb {Z} _ {2n} \ to \ mathbb {Z} _ {2n} [/ math] que mapean los restos positivos [math] \ mod 2n [/ math] biyectivamente en sí mismos ? (Ver detalles de la pregunta)

Answer 1

Tal [matemática] a [/ matemática] no puede existir. Asumamos que existe y llegaremos a una contradicción. Primero, observe que si tales [matemáticas] a [/ matemáticas] existen, entonces [matemáticas] 1 \ leq a \ leq n-1 [/ matemáticas] porque

[matemáticas] \ displaystyle a = \ mu_a (1) \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math]

y [matemáticas] 1 \ en \ mathbb {Z} ^ + [/ matemáticas]. Ahora, como [math] \ mu_a (\ mathbb {Z} ^ +) = \ mathbb {Z} ^ + [/ math], para cada [math] k [/ math] con [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math] debe ser cierto que

[matemáticas] \ displaystyle ak <n \ quad \ text {Opción 1} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ displaystyle ak> 2n \ quad \ text {Opción 2} [/ matemáticas]

Eso es porque si [math] n \ leq ak \ leq 2n [/ math] entonces [math] \ mu_a (\ mathbb {Z} ^ +) \ neq \ mathbb {Z} ^ + [/ math]. Recuerde también que [matemática] a – 1 \ geq 2 [/ matemática], porque [matemática] \ gcd (a, 2n) = 1 \ implica \ gcd (a, 2) = 1 [/ matemática] y [matemática] a \ neq 1 [/ math].

Si [matemática] k = 1 [/ matemática] entonces [matemática] ak = a <n [/ matemática], entonces satisface la opción 1. Si [matemática] k = n-1 [/ matemática] entonces

[matemáticas] \ displaystyle ak = an – a> an – n = (a-1) n \ geq 2n [/ matemáticas]

Entonces satisface la opción 2- Entonces existe [math] k_0 \ in \ mathbb {Z} ^ + [/ math] tal que

[matemáticas] \ displaystyle ak_0 <n [/ matemáticas]
y

[matemáticas] \ displaystyle a (k_0 + 1)> 2n [/ matemáticas]

Pero entonces

[matemáticas] \ displaystyle -a k_0> -n [/ matemáticas]

Y sumando las dos últimas desigualdades

[matemáticas] \ displaystyle a (k_0 + 1) – a k_0> 2n – n \ implica a> n [/ matemáticas]

Eso es una contradicción, porque dijimos [math] a \ leq n-1 <n [/ math].

Answer 2

Reformulando lo que todos los demás han dicho:

Tenga en cuenta que un número entero es “negativo” mod [math] 2n [/ math] en esta cuenta en caso de que dividirlo entre [math] n [/ math] arroje un resultado con un piso impar.

En consecuencia, para la multiplicación por [matemáticas] a [/ matemáticas] para preservar el “estado de negatividad” es decir que cuando miramos la secuencia [matemáticas] 0, a / n, 2a / n, 3a / n, … [/ matemáticas ], donde cada elemento es [matemático] a / n [/ matemático] mayor que el anterior, encontramos que esto sigue el patrón “[matemático] n [/ matemático] muchos valores con piso uniforme, seguido de [matemático] n [/ math] muchos valores con piso impar “, repitiendo hasta el infinito. En particular, el primer elemento de esta secuencia con piso impar tendría que ser [matemática] n \ veces a / n = a [/ matemática], siendo el primer piso impar así [matemática] a [/ matemática].

Sin embargo, si [matemática] 0

Combinando los dos últimos párrafos, podemos concluir que la única forma de multiplicación por [matemáticas] a [/ matemáticas] para preservar el “estado de negatividad” es que [matemáticas] a [/ matemáticas] sea igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas] mod [matemáticas] 2n [/ matemáticas].

Answer 3

Entonces, se nos da un número [math] 1 \ leq a \ leq n-1 [/ math] y consideramos sus múltiplos

[matemáticas] a, 2a, \ ldots, (n-1) a; [/ matemáticas]

queremos saber si alguno de ellos se encuentra entre [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] 2n [/ matemáticas]. Si [math] a> 1 [/ math] entonces para algunos [math] 1 \ leq k \ leq n-1 [/ math] debemos tener [math] ka> n [/ math]. Tome el más pequeño tal k. Entonces [math] (k-1) a

[matemáticas] n