Este es uno de los problemas más profundos en la teoría de números .
La respuesta es a veces . Hay polinomios para los que entendemos muy bien este conjunto, y hay polinomios para los que solo tenemos una comprensión parcial. En términos generales, los polinomios en la primera categoría son aquellos cuyo grupo de Galois es abeliano, y en ese caso el conjunto de módulos primos que dividen es la unión de progresiones aritméticas (hasta algunas excepciones finitas).
Los polinomios cuadráticos, como el que mencionaste, siempre son abelianos. Un caso instructivo es
[matemáticas] f (x) = x ^ 2-q [/ matemáticas]
- ¿Un gráfico contratado se llamará correctamente contratado por un factor menor o mayor que 1?
- Aptitud cuantitativa: Dos números, x e y son tales que cuando se dividen entre 6, dejan el resto 4 y 5 respectivamente. ¿Cómo encuentro el resto cuando x ^ 3 + y ^ 3 se divide por 6?
- ¿Cómo podemos excluir números no primos mientras generamos a través de 6n + 1 y 6n-1, donde n> 1? Por ejemplo, para n = 4 6n + 1, da 25 que no es primo, ¿cómo podemos excluirlo?
- S (M) denota la suma de los dígitos de un entero positivo M escrito en base de 10. Sea N el entero positivo más pequeño tal que S (N) = 2013; entonces S (5N + 2013) =?
- Para todos n> 2, n! -1 es primo. ¿Ya se ha probado esto?
donde [math] q [/ math] es primo. ¿Qué números primos [matemática] p [/ matemática] son tales que [matemática] f (x) [/ matemática] divide el módulo [matemática] p [/ matemática]? Esto sucede cuando [math] q [/ math] es un módulo de residuo cuadrático [math] p [/ math], o en otras palabras, cuando el símbolo Legendre [math] \ left (\ frac {q} {p} \ right) = 1 [/ matemáticas].
La ley de reciprocidad cuadrática nos permite determinar el conjunto de división [matemática] p [/ matemática] s. Por ejemplo, si [math] q [/ math] resulta ser congruente con 1 mod 4, entonces QR nos dice que
[matemáticas] \ left (\ frac {q} {p} \ right) = \ left (\ frac {p} {q} \ right) [/ math]
lo que significa que solo necesitamos encontrar el conjunto finito de residuos cuadráticos módulo [matemático] q [/ matemático], y luego [matemático] p [/ matemático] debe ser congruente con uno de ellos mod [matemático] q [/ matemático ] A saber, [math] p [/ math] pertenece a una de varias progresiones aritméticas.
Por ejemplo, [matemática] x ^ 2-5 [/ matemática] divide el módulo [matemática] p [/ matemática] si y solo si [matemática] p [/ matemática] es congruente con 1 o 4 módulo 5, o en otras palabras si [math] p [/ math] está en la secuencia
11, 19, 29, 31, 41, 59, …
de primos cuyo último dígito en la base 10 es 1 o 9. Además, el polinomio está ramificado mod 5, lo que significa que se divide con factores repetidos (0 es una “raíz doble”).
Por esta razón, cualquier respuesta a la pregunta general que hizo se denomina “ley de reciprocidad”. Para los polinomios de la forma [matemática] f (x) = x ^ ka [/ matemática] la respuesta está dada por “leyes de reciprocidad más altas”, y para otros polinomios abelianos la respuesta está dada por la teoría de campo de clase y la hermosa ley de reciprocidad de Artin .
Para los polinomios no abelianos, la situación es misteriosa. Sabemos bastante sobre la densidad del conjunto de primos de división, dada por un teorema profundo conocido como el Thoerem de densidad de Chebotarev. Pero no conocemos una buena forma de caracterizar esos números primos sucintamente.
Hay un maravilloso artículo de Wyman llamado “¿Qué es una ley de reciprocidad?” Que examina esta pregunta con mucha mayor profundidad que yo aquí.