Cómo demostrar que la raíz de cada número primo es irracional

Espero que hayas demostrado que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.

El Prove para todos o cualquier número primo seguirá el mismo procedimiento.

Sea A un número primo, y [math] \ sqrt {A} [/ math] un número racional en forma de P / Q, donde P y Q son números co-primos (P y Q no son factores comunes que no sea 1) y Q no es igual a cero.

[matemáticas] \ sqrt {A} = \ frac {P} {Q} [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ frac {P ^ 2} {Q ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] P ^ 2 = A (Q ^ 2) [/ matemáticas]

Esto implica que P ^ 2 tiene A como uno de sus factores, por lo tanto, P también debe tener A como su factor. (Esto puede parecer confuso, pero solo piense un poco sobre esto y lo comprenderá).

Entonces, sea P = AX
[matemáticas] (AX) ^ 2 = A (Q ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] Q ^ 2 = A (X ^ 2) [/ matemáticas]

Del mismo modo, Q también tiene A como uno de sus factores. De ahí llegamos a una contradicción. Tanto P como Q tienen A como su factor común, que inicialmente asumimos que P y Q son coprimos.

Resultado: la raíz de cada número primo es irracional.

Si fuera racional, podría escribir [math] \ sqrt {p} = a / b [/ math] y [math] a ^ 2 = b ^ 2 p [/ math]. Cada número cuadrado tiene un número par de factores primos, porque [matemática] a ^ 2 = \ mbox {(factores de a)} \ cdot \ mbox {(factores de a)} [/ matemática]. Entonces, el lado izquierdo de la ecuación tiene un número par de factores primos, pero el lado derecho de la ecuación tiene un número par más uno. Entonces eso es una contradicción.

Deje √p = a / b donde a, b son relativamente primos (forma más baja)

ahora,
p = a ^ 2 / b ^ 2

o

p * b ^ 2 = a ^ 2

el lado derecho tiene un número par de factores primos y el lado izquierdo tiene un número impar de factores primos. Por lo tanto, una contradicción.

Por lo tanto, √p es irracional.

Yendo con las respuestas aquí, ya tienes [matemáticas] a ^ 2 = p \ veces b ^ 2 [/ matemáticas]

Como [math] a ^ 2 [/ math] es un cuadrado perfecto, el lado derecho de la igualdad [math] p \ times b ^ 2 [/ math] también debe ser un cuadrado perfecto.

Como [math] b ^ 2 [/ math] ya es un cuadrado perfecto, [math] p [/ math] debe ser un cuadrado perfecto. Y sabemos que ningún número primo es un cuadrado perfecto.

Puedes probar esto de la manera original y aburrida:

Suponga que [math] \ sqrt {p} = \ frac {a} {b} [/ math], con [math] ggd (a, b) = [/ math] blablabla, etc., etc.

O puede usar el criterio de Eisenstein, que es una especie de exageración, pero funciona de maravilla.

Supongamos que tenemos el siguiente polinomio con coeficientes enteros.
Si existe un número primo p tal que se apliquen las siguientes tres condiciones:

  • p divide cada ai para in ,
  • p no divide un , y
  • p 2 no divide un 0,

entonces Q es irreducible sobre los números racionales.

Debido a que [math] x ^ 2 – p [/ math] satisface las tres condiciones, el polinomio no puede escribirse como [math] (x + q) (x – r) [/ math], con q y r racional.

Pero [math] x ^ 2 – p = (x + \ sqrt p) (x – \ sqrt p) [/ math], entonces [math] \ sqrt p [/ math] no puede ser racional.

Asumiré que te refieres a raíces cuadradas de números que no se pueden escribir como producto de dos mismos números.

Digamos que x es un número entero que no tiene raíz cuadrada entera.
Supongamos que sqrt (x) es racional. Esto significa que se puede escribir como a / b donde a / b no se puede reducir aún más.
sqrt (x) = a / b => sqrt (x) * sqrt (x) = a / b * sqrt (x) => x = a / b * sqrt (x) => x * b / a = sqrt ( x) => x * b / a = a / b.

Dijimos que a / b no puede reducirse más, esto significa que x * b / a puede reducirse a a / by no más. Digamos que x * b / a se puede reducir dividiendo hacia arriba y hacia abajo con algún número c. Esto significa que x * b = a * c y a = c * b. Si a = c * b esto significa que a / b puede reducirse a a / b = c, lo que está en contradicción con el supuesto de que sqrt (x) no es un número entero.

Creo que la pregunta ya está bien respondida, pero para respuestas más simples:
1. La raíz cuadrada del primer es irracional
2. Página en google.co.in
Gracias ^ _ ^

Puede usar la prueba de que la raíz cuadrada de todos los enteros no cuadrados son irracionales, ya que los números primos no son números cuadrados, las raíces cuadradas de todos deben ser racionales.

Como prueba, tome un solo valor x y suponga que su raíz es racional, es decir, expresable como una fracción [matemática] \ frac {a} {b} [/ matemática] que se reduce a su forma más baja (cuota de a & b sin factores comunes que no sean uno).

entonces desde: [math] \ sqrt {x} = \ frac {a} {b} [/ math] [math] \ rightarrow [/ math]

[matemáticas] x = \ frac {a ^ 2} {b ^ 2} [/ matemáticas]

pero como sabemos que x es un número entero, por lo tanto, [matemática] a ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b ^ 2 [/ matemática] deben compartir al menos un factor común para que todos esos factores se cancelen aparte de [ matemáticas] x [/ matemáticas].

Pero; con enteros al cuadrado (recuerde que a & b son enteros), sus cuadrados solo pueden compartir factores comunes (que no sean uno) si ambos a & b comparten factores comunes (que no sean uno).

Por lo tanto, es imposible para

[matemática] \ sqrt {x} = \ frac {a} {b} [/ matemática] donde [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] son ​​enteros a menos que [matemática] b sea 1 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ sqrt {x} [/ math] es racional solo cuando es un número entero, y x es un número cuadrado.

Como ningún primo es un número cuadrado, entonces las raíces cuadradas de todos los números primos deben ser irracionales.

La raíz cuadrada de un primo es [math] \ sqrt {p} [/ math], que es una solución de la ecuación cuadrática [math] x ^ 2 – p = 0 [/ math]. Esta ecuación es monica y tiene coeficientes enteros, por lo que sus raíces son enteros algebraicos. El conjunto de enteros algebraicos no contiene ningún número racional no integral. Como [math] \ sqrt {p} [/ math] claramente no es un número entero, debe ser irracional.

Use la Prueba por factorización única para demostrar que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional. El argumento funciona con cualquier primo además de [math] 2 [/ math].

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