Espero que hayas demostrado que [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional.
El Prove para todos o cualquier número primo seguirá el mismo procedimiento.
Sea A un número primo, y [math] \ sqrt {A} [/ math] un número racional en forma de P / Q, donde P y Q son números co-primos (P y Q no son factores comunes que no sea 1) y Q no es igual a cero.
[matemáticas] \ sqrt {A} = \ frac {P} {Q} [/ matemáticas]
[matemáticas] A = \ frac {P ^ 2} {Q ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] P ^ 2 = A (Q ^ 2) [/ matemáticas]
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Esto implica que P ^ 2 tiene A como uno de sus factores, por lo tanto, P también debe tener A como su factor. (Esto puede parecer confuso, pero solo piense un poco sobre esto y lo comprenderá).
Entonces, sea P = AX
[matemáticas] (AX) ^ 2 = A (Q ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] Q ^ 2 = A (X ^ 2) [/ matemáticas]
Del mismo modo, Q también tiene A como uno de sus factores. De ahí llegamos a una contradicción. Tanto P como Q tienen A como su factor común, que inicialmente asumimos que P y Q son coprimos.
Resultado: la raíz de cada número primo es irracional.