¿Qué es una explicación intuitiva de la identidad de Eulers?

Answer 1

La ecuación que generalmente se llama identidad de Euler es en realidad [matemáticas] e ^ {i \ pi} + 1 = 0 [/ matemáticas]. La ecuación que ha dado, [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos x + i \ sen x [/ matemáticas], es realmente una generalización de la identidad de Euler, y se refiere más típicamente a la fórmula de Euler. Los nombres parecen confusamente similares porque cada uno es muy utilizado por una comunidad diferente.

La fórmula de Euler es notable porque describe de manera concisa las seis funciones trigonométricas únicamente en términos de la función exponencial compleja, [math] e ^ {ix} [/ math]. Como veremos, la prueba además proporciona una técnica constructiva para calcular cualquier número en cualquiera de estas tablas trigonométricas con precisión arbitraria. Que todo esto esté empaquetado en una ecuación tan simple y elegante es nada menos que sorprendente.

Lo que es

La fórmula de Euler se sigue elegantemente de las definiciones de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas], [matemáticas] \ cos x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas]. Tenga paciencia conmigo, ya que aquí usaremos matemáticas muy simples e intuitivas para derivar esta fórmula y ver por qué funciona.

Primero recuerde que [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] se define como [matemáticas] e ^ x = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {x ^ k} {k!} = 1 + x + \ frac {1} {2!} x + \ frac {1} {3!} x + \ frac {1} {4!} x + \ ldots [/ math]. Intuitivamente, esta es una suma de términos cada vez más pequeños que convergen a [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas] a medida que nos acercamos al infinito. Por ejemplo, en el caso de [math] x = 1 [/ math], esto convergerá a [math] e [/ math].

Nuestro primer paso es agregar una [matemática] i [/ matemática] al exponente. Al hacer esto, obtenemos [matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix + \ frac {1} {2!} I ^ 2 x ^ 2 + \ frac {1} {3!} I ^ 3 x ^ 3 + \ frac {1} {4!} i ^ 4 x ^ 4 + \ ldots [/ math].

Observe que [matemática] i ^ 2 = -1 [/ matemática], [matemática] i ^ 3 = -i [/ matemática], [matemática] i ^ 4 = 1 [/ matemática] y [matemática] i ^ 5 = i [/ matemáticas]. Resulta que a medida que continuamos aumentando el exponente, el valor “ciclos” – es decir, si continúa, verá que [matemáticas] i ^ 6 = i ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] i ^ 7 = i ^ 3 [/ matemáticas], y así sucesivamente.

Esta idea nos permite deshacernos de algunas de las [matemáticas] i [/ matemáticas] en nuestra definición de [matemáticas] e ^ {ix} [/ matemáticas]. Específicamente, siguiendo este comportamiento de “ciclismo” que acabamos de describir, vemos que [matemáticas] e ^ {ix} = 1 + ix – \ frac {1} {2!} X ^ 2 – \ frac {1} {3!} ix ^ 3 + \ frac {1} {4!} x ^ 4 + \ ldots [/ math].

Esto resulta ser una idea muy útil, ya que nos permite separar [math] e ^ {ix} [/ math] en dos grupos: los términos que involucran un [math] i [/ math] de todos aquellos que no t. Es decir, [matemáticas] e ^ {ix} = (1 – \ frac {1} {2!} X ^ 2 + \ frac {1} {4!} X ^ 4 + \ ldots) + [/ matemáticas] [ matemáticas] i (x – \ frac {1} {3!} x ^ 3 + \ frac {1} {5!} x ^ 5 + \ ldots) [/ matemáticas].

(En este punto, una nota al margen importante está en orden. Si aún no lo sabía, una expansión de Taylor de una función nos permite representar esa función como una suma infinita de términos, al igual que hemos definido [matemáticas] e ^ x [/ math]. Esta definición nos permitirá dar el siguiente paso).

Ahora, aquí es donde comienza a ser emocionante.

Resulta que el grupo de la izquierda es la expansión de Taylor de [math] \ cos x [/ math], mientras que el grupo de la derecha es la expansión de Taylor de [math] \ sin x [/ math]. Entonces esto nos da que [matemáticas] e ^ {ix} = (\ cos x) + i (\ sin x) [/ matemáticas].

Bam, QED, que completa la prueba. Incluso explicándolo ahora, es sorprendente lo hermoso y conciso que es esto.

Finalmente, vale la pena señalar que, como prometimos, el hecho de que esta prueba se construya como una suma de números cada vez más pequeños nos permite calcular cualquier número en las seis tablas trigonométricas con precisión arbitraria.

Answer 2

Fue Johann Bernoulli quien notó que

Y desde

La ecuación anterior nos dice algo sobre logaritmos complejos. Bernoulli, sin embargo, no evaluó la integral. La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no entendía completamente los logaritmos. Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.

Mientras tanto, Roger Cotes, en 1714, descubrió que

(donde “ln” significa logaritmo natural, es decir, iniciar sesión con la base e ). Ahora sabemos que la ecuación anterior es verdadero módulo múltiplo entero de

, pero Cotes omitió el hecho de que un logaritmo complejo puede tener infinitos valores debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas.

Fue Euler (presumiblemente alrededor de 1740) quien dirigió su atención a la función exponencial en lugar de los logaritmos, y obtuvo la fórmula correcta que ahora lleva su nombre. Fue publicado en 1748, y su prueba se basó en la serie infinita de ambos lados iguales. Ninguno de estos matemáticos vio la interpretación geométrica de la fórmula: la visión de los números complejos como puntos en el plano complejo surgió solo unos 50 años después.

Fuente: Wikipedia

La fórmula de Euler

Answer 3

Tal vez esto ayude, si por una explicación intuitiva te refieres a una forma de entenderlo en lugar de probarlo.

Sabes sobre el movimiento de una órbita circular, ¿verdad? En ese movimiento, la fuerza de gravedad siempre se dirige al centro de la órbita, y es perpendicular a la velocidad. Como resultado, la dirección de la velocidad cambia, pero no la magnitud. En otras palabras, para que la órbita sea circular, la velocidad de cambio de la velocidad debe ser perpendicular al vector de velocidad. Y, una tasa de cambio perpendicular al vector no cambiará la longitud del vector, solo su dirección.

¿También sabes sobre números complejos y su representación en el plano complejo? Multiplicar un número complejo por i gira el número por noventa grados. Pruébalo, si no lo has visto antes.

Además, probablemente esté familiarizado con las derivadas de la función exponencial. Si una función [matemática] f (x) = e ^ x [/ matemática], entonces la derivada es [matemática] f ‘(x) = e ^ x [/ matemática], ¿verdad? También la derivada de [math] f (x) = e ^ {ax} [/ math] donde a es una constante es [math] f ‘(x) = ae ^ {ax} = af (x) [/ math] .

Entonces, si su función es [math] f (x) = e ^ {ix} [/ math], su derivada será [math] f ‘(x) = ie ^ {ix} [/ math], que es solo i veces la función original, por lo que es perpendicular al original. Eso significa que a medida que x cambia, la longitud de la función no cambia; en otras palabras, describe un círculo. Y comienza en [matemáticas] 1 + i 0 [/ matemáticas], igual que el círculo [matemáticas] \ cos x + i \ sen x [/ matemáticas].

Answer 4

En su pregunta, mencionó el sitio web Mejor explicado. Las funciones exponenciales se explican allí en términos de crecimiento: un crecimiento que se vuelve más y más rápido con el tiempo.

Esa es una buena descripción intuitiva de las funciones exponenciales positivas : funciones de la forma [math] f (x) = e ^ {kx} [/ math] donde k es un número positivo yx es una variable de número real. ¿Qué sucede cuando una función exponencial contiene un factor k que es negativo o imaginario?

Cuando el factor k es negativo, la función no representa un crecimiento exponencial, representa una disminución exponencial, una disminución que se vuelve más y más lenta a medida que x aumenta. Como la descomposición gradual de un elemento radiactivo en física nuclear.

Cuando el factor k es cero, [math] f (x) [/ math] permanece 1 para cualquier valor de x. En este caso, no es crecimiento exponencial ni decadencia exponencial, es la constante exponencial.

¿Qué pasa si la k no es ni positiva ni negativa ni cero, sino imaginaria? En este caso, la función no representa el crecimiento exponencial ni la disminución exponencial ni la constante exponencial, por lo que [math] f (x) [/ math] no sube ni baja a medida que x aumenta. ni se queda igual. Entonces ¿Qué es lo que hace? Comienza de lado hacia el plano complejo …

Y lo que sigue cambiando, en este caso, no es la velocidad (ni se acelera ni disminuye), sino la dirección . En resumen, lo que sucede es la rotación . El punto alrededor del cual gira la función es el punto 0 + i0, el punto de origen del plano complejo.

El número que llamamos pi es la medida de media rotación, porque la circunferencia de un círculo es 2 pi por el radio. Entonces, [matemáticas] e ^ {iπ} [/ matemáticas] te balancea media rotación lejos de [matemáticas] e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]. Gira el resultado de 1 a -1.

Answer 5

[matemáticas] e ^ {i \ pi} = -1 [/ matemáticas]
Si giras media vuelta, terminas mirando hacia el otro lado.

[matemática] e ^ {i \ theta} [/ matemática] es una rotación del ángulo [matemática] \ theta [/ matemática] alrededor del origen. En radianes, [math] \ pi [/ math] es media vuelta.

Hay un factor implícito de 1 en la fórmula, por lo que tiene [matemática] 1 \ veces e ^ {i \ pi} [/ matemática], que significa “girar 1 media vuelta alrededor del origen”, y si lo hace, obtener -1. Eso es.

Answer 6

En primer lugar, comencemos con la definición de [matemáticas] e ^ x [/ matemáticas],

[matemáticas] \ displaystyle {e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n} [/ math]

De este modo,

[matemáticas] \ displaystyle {e ^ {ix} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {ix} {n} \ right) ^ n} [/ math]

Ahora, si arregla [math] x = \ pi [/ math] y calcula [math] \ left (1 + \ frac {i \ pi} {n} \ right) ^ n [/ math] para aumentar los valores de n, verá la siguiente progresión:

Fuente gráfica: identidad de Euler

Puede ver que a medida que n aumenta, el punto final de la curva en el gráfico se acerca lentamente a -1 (que es lo que es [matemática] e ^ {i \ pi} [/ matemática]). Esto es esencialmente la intuición a medida que aumenta los poderes en [matemáticas] \ izquierda (1 + \ frac {ix} {n} \ derecha) ^ n [/ matemáticas], converge a un punto en el círculo unitario en el plano complejo . Pero cada punto en el círculo de la unidad se puede escribir como [matemáticas] (\ cos \ theta, \ sin \ theta) [/ matemáticas] y en este caso, [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] resulta ser [matemáticas] x [/matemáticas].

Answer 7

Necesita visualizar el mapa exponencial complejo, una cobertura infinitamente contable: [math] exp: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C} \ setminus 0 [/ math]

0 va a 1, y el eje y (números imaginarios) se envuelve alrededor del círculo unitario. El eje x (números reales) va a los números reales positivos.

El exponencial complejo

Answer 8

Supongo que por la identidad de Euler quieres decir

exp (i * pi) + 1 = 0

Entonces se explica aquí Comprensión intuitiva de la fórmula de Euler, en la página en betterexplained.com

Answer 9

Esta pregunta, y sus variaciones, se ha formulado varias veces.

Voy a vincularlo a una pregunta relacionada que se hizo hace un tiempo. Esta pregunta ya tiene muchas respuestas “intuitivas” o visualmente interpretativas que pueden hacer que la identidad de Euler sea más intuitiva: ¿Cómo explicarías por qué la [matemática] i [/ matemática] en [matemática] e ^ {ix} [/ matemática] la convierte en una función periódica?

Answer 10

Poniendo θ = π entonces e ^ (iπ) = cos π + i sen π = -1

Por lo tanto, e ^ (iπ) + 1 = 0

Entonces, e ^ (iπ) + 1 = 0 indica medio círculo en el plano complejo

Answer 11

Considere un número complejo, ‘a’ para tener la forma x + iy. Realice la siguiente sustitución:
x = r cos (n), y = r sin (n). Por lo tanto, a = r (cos (n) + i sin (n)).
Ahora, si considera la expansión de la serie Taylor de r * Exp (i * n) y recopila todos los términos imaginarios y reales, encontrará que la parte real de la expresión es la expansión de la serie Taylor de cos (n) y la del parte imaginaria es pecado (n).

Usamos una representación compleja para una señal dada porque es fácil de manipular, pero en principio solo queremos decir Real (Exp (i * w * t + phase)).