Aquí hay una prueba de la desigualdad anterior para todos (suficientemente grandes) impares [matemáticas] n [/ matemáticas]. (Esta no es la mejor manera de probar esto, pero sí nos permite aplicar un lindo hecho combinatorio).
Apliquemos la fórmula de doble ángulo y reemplacemos [math] \ cos (2p \ pi / n) [/ math] con [math] 1-2 \ sin ^ 2 (p \ pi / n) [/ math] y del mismo modo para [matemáticas] \ cos (2q \ pi / n) [/ matemáticas]. Nuestro producto luego se convierte
[matemáticas] \ prod_ {p = 1} ^ {n-1} \ prod_ {q = 1} ^ {n-1} 2 \ left (\ sin ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} {n} \ right) + \ sin ^ 2 \ left (\ frac {q \ pi} {n} \ right) \ right) [/ math]
Como [math] n [/ math] es impar, escriba [math] n = (2k + 1) [/ math]. Sustituyendo esto y simplificando, obtenemos
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[matemáticas] 2 ^ {4k ^ 2} \ prod_ {p = 1} ^ {2k} \ prod_ {q = 1} ^ {2k} \ sin ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} {2k + 1 } \ right) + \ sin ^ 2 \ left (\ frac {q \ pi} {2k + 1} \ right) [/ math]
Ahora, tenga en cuenta que [matemáticas] \ sin ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} {2k + 1} \ right) = \ sin ^ 2 \ left (\ frac {(2k + 1-p) \ pi} {2k + 1} \ right) [/ math]. Por lo tanto, podemos simplificar aún más la expresión anterior para obtener
[matemáticas] \ left (2 ^ {k ^ 2} \ prod_ {p = 1} ^ {k} \ prod_ {q = 1} ^ {k} \ sin ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} { 2k + 1} \ right) + \ sin ^ 2 \ left (\ frac {q \ pi} {2k + 1} \ right) \ right) ^ 4 [/ math]
Ahora apliquemos la igualdad [matemáticas] \ sin (x) = \ cos (\ frac {\ pi} {2} -x) [/ matemáticas] para reemplazar todos los senos con cosenos:
[matemáticas] \ left (2 ^ {k ^ 2} \ prod_ {p = 1} ^ {k} \ prod_ {q = 1} ^ {k} \ cos ^ 2 \ left (\ frac {(2p-1) \ pi} {2 (2k + 1)} \ right) + \ cos ^ 2 \ left (\ frac {(2q-1) \ pi} {2 (2k + 1)} \ right) \ right) ^ 4 [ /matemáticas]
Dado que [matemáticas] \ cos ^ 2 \ left (\ frac {(2p-1) \ pi} {2 (2k + 1)} \ right) \ geq \ cos ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} { (2k + 1)} \ right) [/ math], esta expresión es al menos
[matemáticas] \ left (2 ^ {k ^ 2} \ prod_ {p = 1} ^ {k} \ prod_ {q = 1} ^ {k} \ cos ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} { 2k + 1} \ right) + \ cos ^ 2 \ left (\ frac {q \ pi} {2k + 1} \ right) \ right) ^ 4 [/ math]
Ahora usamos el siguiente resultado sobre las inclinaciones de dominó: el número de formas [matemáticas] C [/ matemáticas] para enlosar un tablero de ajedrez [matemáticas] 2k \ veces 2k [/ matemáticas] con fichas de dominó es igual a:
[matemáticas] 2 ^ {2k ^ 2} \ prod_ {p = 1} ^ {k} \ prod_ {q = 1} ^ {k} \ cos ^ 2 \ left (\ frac {p \ pi} {2k + 1 } \ right) + \ cos ^ 2 \ left (\ frac {q \ pi} {2k + 1} \ right) [/ math]
Por lo tanto, es suficiente demostrar que
[matemáticas] 2 ^ {- 4k ^ 2} C ^ 4 \ geq 1.5 ^ {4k ^ 2} [/ matemáticas]
o equivalentemente, que
[matemáticas] C \ geq 3 ^ {k ^ 2} [/ matemáticas]
Una forma de reducir el límite C es dividir nuestra tabla [matemática] 2k \ multiplicada por 2k [/ matemática] en [matemática] k ^ 2 [/ matemática] 2 por 2 casillas, cada una de las cuales puede dividirse en mosaico de 2 maneras; desafortunadamente, esto solo nos da que [math] C \ geq 2 ^ {k ^ 2} [/ math]. Para obtener un mejor límite inferior, podemos notar que hay 36 formas de colocar un cuadrado de 4 por 4 con fichas de dominó; Al dividir nuestro tablero en cuadrados de 4 por 4 y colocar el resto de forma arbitraria, esto nos da un límite asintótico de [matemáticas] C \ geq 36 ^ {k ^ 2/4} = \ sqrt {6} ^ {k ^ 2} [/ math], que todavía es demasiado pequeño. Para obtener un límite lo suficientemente bueno, podemos notar (A004003) que la cantidad de formas de colocar un cuadrado de 18 por 18 con fichas de dominó es igual a
[matemáticas] C_9 = 548943583215388338077567813208427340288 [/ matemáticas]
Al dividir nuestro tablero en cuadrados de 18 por 18, esto nos da un límite asintótico de [matemáticas] C \ geq C_9 ^ {k ^ 2/81} [/ matemáticas]. Dado que [matemática] C_9 ^ {1/81} \ aprox 3.01 \ geq 3 [/ matemática], esto muestra que (para suficientemente [impar] matemática k [/ matemática]), [matemática] C \ geq 3 ^ {k ^ 2} [/ matemáticas],
Puede mostrar (mediante la toma de registros y viendo la suma resultante como una integral doble) que [matemática] C [/ matemática] crece asintóticamente como [matemática] B ^ {k ^ 2} [/ matemática] donde [matemática] B = \ exp (\ frac {4K} {\ pi}) \ aprox 3.21 [/ math] y [math] K [/ math] es la constante del catalán. En particular, el 1.5 en el enunciado del problema se puede aumentar (en el límite) a aproximadamente 1.6.
( EDITAR 12/7/2015: se corrigió un error de álgebra en la prueba).