Cómo encontrar el resto de [matemáticas] 2 ^ {1990} [/ matemáticas] dividido por [matemáticas] 1990 [/ matemáticas]

Answer 1

Gracias por el A2A. La respuesta es [matemáticas] 1024. [/ Matemáticas]

Una solución directa a este problema es aplicar el teorema del resto chino y el pequeño teorema de Fermat.

Primera nota que [math] 1990 = 2 \ cdot 5 \ cdot 199 [/ math] es la descomposición en factores primos.

El pequeño teorema de Fermat dice que [matemáticas] 2 ^ {198} \ equiv 1 \ mod 199 [/ matemáticas].

Con esto concluimos [matemáticas] 2 ^ {1990} = 2 ^ {10} \ cdot 2 ^ {1980} \ equiv 2 ^ {10} \ mod 199. [/ Matemáticas]

Mediante el CRT podemos reconstruir el resto [matemática] r [/ matemática] si la conocemos [matemática] \ mod 2, \ mod 5, [/ matemática] y [matemática] \ mod 199. [/ Matemática]

Claramente, por lo anterior

[matemáticas] r \ equiv 2 ^ {10} \ mod 199. [/ matemáticas]

Además:

[matemáticas] r \ equiv 2 ^ {1990} \ equiv 0 \ mod 2, \; (*) [/ matemáticas]

[matemáticas] r \ equiv 2 ^ {1990} \ equiv 2 ^ {1988} \ cdot 4 \ equiv 4 \ mod 5. \; (**)[/matemáticas]

La última equivalencia se debe a [matemáticas] 2 ^ {4} = 1 \ mod 5 [/ matemáticas].

Observe que [matemáticas] r = 2 ^ {10} [/ matemáticas] satisface (*) y (**).

Por lo tanto, por CRT [matemáticas] 2 ^ {10} \ equiv 2 ^ {1990} \ mod 1990 [/ matemáticas] y es menor que [matemáticas] 1990 [/ matemáticas], por lo que debe ser la respuesta.

Answer 2

Podemos usar el pequeño teorema de Fermat que dice [matemática] a ^ p ≡ [/ matemática] [matemática] a [/ matemática] mod [matemática] p [/ matemática] [matemática], [/ matemática] donde [matemática] p [ / math] es un número primo. La declaración también se puede escribir como [matemática] a ^ p – a ≡ [/ matemática] [matemática] 0 [/ matemática] mod [matemática] p [/ matemática].

Como sabemos que 199 es primo, podemos escribir [matemáticas] 2 ^ {1990} [/ matemáticas] como [matemáticas] 1024 ^ {199}. [/ math] Ahora considere el número [math] 1024 ^ {199} – 1024, [/ math] es divisible por 199, también el dígito unitario de [math] 1024 ^ {199} [/ math] es 4, entonces la unidad el dígito de ([matemática] 1024 ^ {199} – 1024) [/ matemática] es 0.

Entonces ([matemática] 1024 ^ {199} – 1024) [/ matemática] es múltiplo de 199 y termina en 0, por lo tanto, un múltiplo de 1990. Por lo tanto, cuando [matemática] 1024 ^ {199} [/ matemática] es decir [matemática] 2 ^ {1990} [/ math] se divide por 1990, el resto es 1024.

Answer 3

2 ^ 1990/1990
1990 = 2 * 5 * 199
Divídelo por separado
2 ^ 1990/2 = 0 resto Ie 2 ^ n

2 ^ 1990/5
= 4 ^ 995/5
= -1 ^ 995/5
(Nota: – -1 ^ impar = – 1)
= -1/5
= 5-1
= 4 resto Ie 2 ^ 2

2 ^ 1990/199
a ^ p / p = un resto
= (2 ^ 199) ^ 10/199
= 2 ^ 10/199
= 1024/109
= 29 resto

Nuestra respuesta es ese número que deja el resto 0 cuando se divide por 2, 4 Ie 2 ^ 2 cuando se divide por 5 y 29 cuando se divide por 199
Mediante una observación aguda, puede descubrir que 2 ^ 10 satisfacen todas las condiciones
Entonces 2 ^ 10 es el resto

O
N / 2 = 0 resto
N podría ser 0,2,4,6,… ..1024, ..

N / 5 = 4 resto
N podría ser 4,9,14,19, …… 1024, ..

N / 199 = 29 resto
N podría ser 29, 228, 247, .. 1024, ..

Común es 1024
Entonces 1024 es el resto

Answer 4

2 ^ 1990/1990 = 2 × 2 ^ 1989/2 × 995 = 2 ^ 1989/995

φ (995) = 995 × (4/5) 198/199 = 792

1989 = 2 × 792 + 405

^2 ^ 1989

^2 ^ 405 mod995

= (2 ^ 11) ^ 36 × 2 ^ 9

≡ (2 × 995 + 58) ^ 36 * 512

≡ (58 ^ 6) ^ 6 × 512

≡ {1md995} × 512

≡512md995

^2 ^ 1989≡ 512 (mod995)

2 ^ 1990 ≡ 1024 (mod1990)