¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 11 ^ {2015} + 13 ^ {2015} + 17 ^ {2015} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 29? [/ Matemáticas]

Answer 1

Disfruté especialmente leyendo la respuesta de John Calligy a ¿Cuál es el resto cuando [matemáticas] 11 ^ {2015} + 13 ^ {2015} + 17 ^ {2015} [/ matemáticas] se divide por [matemáticas] 29? [/ Matemáticas ] Observando que [matemáticas] 2015 + 1 [/ matemáticas] es un múltiplo de [matemáticas] 28 [/ matemáticas] hace que su respuesta sea la “correcta”. Déjame completar la tarea que le ha dejado al lector.

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El teorema de Fermat dice que [math] a ^ {p-1} \ equiv 1 \ pmod {p} [/ math] siempre que [math] p [/ math] es primo y [math] p \ nmid a [/ math ]

Como [math] 29 [/ math] es primo y [math] 2016 = 28 \ cdot 72, [/ math]

[matemáticas] a \ cdot a ^ {2015} = \ left (a ^ {28} \ right) ^ {72} \ equiv 1 \ pmod {29} [/ math]

siempre que [math] 29 \ nmid a [/ math]. Por lo tanto

[matemáticas] a ^ {2015} \ equiv a ^ {- 1} \ pmod {29} [/ matemáticas]

if [math] 29 \ nmid a [/ math].

Aplicando esto a [matemáticas] a = 11 [/ matemáticas], [matemáticas] 13 [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] 11 ^ {2015} + 13 ^ {2015} + 17 ^ {2015} \ equiv 11 ^ {- 1} + 13 ^ {- 1} + 17 ^ {- 1} \ pmod {29} [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ equiv \ big ((11 \ cdot 13) + (11 \ cdot 17) + (13 \ cdot 17) \ big) \ cdot 11 ^ {- 1} \ cdot 13 ^ {- 1} \ cdot 17 ^ {- 1} \ pmod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv \ big (11 + (13 \ cdot 17) \ big) \ cdot 11 ^ {- 1} \ cdot 13 ^ {- 1} \ cdot 17 ^ {- 1} \ pmod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ equiv 0 \ pmod {29} [/ matemáticas].

El resto es [matemática] 0 [/ matemática]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Por la función totient de Euler,
Phi (29) = 28 .
Como 2016 y 29 son coprimes y
2016 mod 28 = 0, para cualquier n natural, según el teorema de Euler,
n ^ 2016 mod 29 = n ^ 0 mod 29 = 1 .

Entonces, 11 ^ 2016 mod 29 = 1 = 88 mod 29.
Dividiendo ambos lados por 11,
11 ^ 2015 mod 29 = 8 mod 29 = 8 .
( Funciona porque 11 y 29 son coprimos).

13 ^ 2016 mod 29 = 1 = 117 mod 29.
Dividiendo ambos lados por 13,
13 ^ 2015 mod 29 = 9 mod 29 = 9 .

17 ^ 2016 mod 29 = 1 = 204 mod 29.
Dividiendo ambos lados por 17,
17 ^ 2015 mod 29 = 12 mod 29 = 12 .

Creo que ahora es absurdamente fácil llegar a la respuesta.

Answer 3

Como dijo Paul Olaru, deberías aprender el pequeño teorema de Fermat. Para encontrar el resto de [matemáticas] 11 ^ {2015} + 13 ^ {2015} + 17 ^ {2015} [/ matemáticas] debe encontrar el resto cuando

[matemáticas] 11 ^ {2015} [/ matemáticas] se divide entre 29, [matemáticas] 13 ^ {2015} [/ matemáticas] se divide entre 29 y [matemáticas] 17 ^ {2015} [/ matemáticas] se divide entre 29 .

Usando el pequeño teorema de Fermat ([math] a ^ {p-1} \ equiv {1} \ mod {p} [/ math], [math] p [/ math] es el número primo) obtenemos:

[matemáticas] 11 ^ {28 \ cdot71} \ equiv {1} \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ {28 \ cdot71} \ equiv {1} \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ {28 \ cdot71} \ equiv {1} \ mod {29} [/ matemáticas]

Ahora necesitamos encontrar [matemáticas] 11 ^ {27} \ mod {29} [/ matemáticas], [matemáticas] 13 ^ {27} \ mod {29} [/ matemáticas], [matemáticas] 17 ^ {27} \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 11 ^ 3 \ equiv {26} \ mod {29} [/ matemáticas],

[matemáticas] 11 ^ {27} = 11 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 11 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} \ mod {29} = 26 ^ 9 \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 26 ^ 3 \ equiv {2} \ mod {29} [/ matemáticas], [matemáticas] 26 ^ 9 \ mod {29} = 2 ^ 3 \ mod {29} = 8 \ mod {29} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 11 ^ {27} \ equiv {8} \ mod {29} [/ matemáticas]

Siguiente [matemática] 13 ^ 3 \ equiv {22} \ mod {29} [/ matemática]

[matemáticas] 13 ^ {27} = 13 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 13 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} \ mod {29} = 22 ^ 9 \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 22 ^ 3 \ equiv {5} \ mod {29} [/ matemáticas], [matemáticas] 22 ^ 9 \ mod {29} = 5 ^ 3 \ mod {29} = 9 \ mod {29} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 13 ^ {27} \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] {9} \ mod {29} [/ matemáticas]

Siguiente [matemática] 17 ^ 3 \ equiv [/ matemática] [matemática] {12} \ mod {29} [/ matemática]

[matemáticas] 17 ^ {27} = 17 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 17 ^ {3 ^ {3 ^ 3}} \ mod {29} = 12 ^ 9 \ mod {29} [/ matemáticas]

[matemáticas] 12 ^ 3 \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] {17} \ mod {29} [/ matemáticas], [matemáticas] 12 ^ 9 \ mod {29} = 17 ^ 3 \ mod {29} = 12 \ mod {29} [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] 17 ^ {27} \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] {12} \ mod {29} [/ matemáticas]

Finalmente, sumamos los restos que obtuvimos cuando dividimos [matemáticas] 11 ^ {27} [/ matemáticas], [matemáticas] 13 ^ {27} [/ matemáticas] y [matemáticas] 17 ^ {27} [/ matemáticas] con [matemáticas] 29 [/ matemáticas], que es [matemáticas] 8 + 9 + 12 = 29 [/ matemáticas] y obtenemos

[matemáticas] 11 ^ {2015} + 13 ^ {2015} + 17 ^ {2015} \ equiv [/ matemáticas] [matemáticas] {0} \ mod {29} [/ matemáticas]

Este es un camino muy largo, y notifíqueme si cometí un error.

Answer 4

Permítame verificar la respuesta utilizando un enfoque de fuerza bruta.

Aquí está el resultado usando la aritmética de precisión arbitraria de Python. Puede hacer números realmente grandes.

$ python -c “print (11 ** 2015 + 13 ** 2015 + 17 ** 2015)% 29”

0 0

Entonces, el resultado es 0.

Aqui hay mas

11 ^ 2015 mod 29 es 8.

(11 ^ 2015 + 13 ^ 2015) mod 29 es 17

(11 ^ 2015 + 13 ^ 2015 + 17 ^ 2015) mod 29 es 0

(11 ^ 2015 + 13 ^ 2015 + 17 ^ 2015 + 19 ^ 2015) mod 29 es 8

(11 ^ 2015 + 13 ^ 2015 + 17 ^ 2015 + 19 ^ 2015 + 23 ^ 2015) mod 29 es 21

…

Answer 5

(11 ^ 2015 + 13 ^ 2015 + 17 ^ 2015) / 29
Euler de primer P es (p-1)
Entonces 29 euler es 28euler
Entonces euler dice a ^ 2016/29 = 1 resto
Hagamos por separado
11 ^ 2015/29
Se puede escribir como
11 ^ 2016/29 = 1
11 ^ 2015 * 29/11 = 1
R * 11 = 29k +1
R = 29k + 1/11
K sea cualquier valor que divida esto perfectamente
deja k ser 3
R = 29 (3) +1/11 = 88/11
R = 8 resto.

13 ^ 2015/29
13 ^ 2016/29 = 1
13 ^ 2015 * 13/29 = 1
R * 13 = 29k + 1
R = 29k + 1/13
= 29 (4) +1/13
R = 9 resto

17 ^ 2015/29
17 ^ 2016 * 17/29 = 1
R * 17 = 29k + 1
R = 29k + 1/17
= 29 (7) +1/17
R = 12 restos

Entonces
(11 ^ 2015 + 15 ^ 2015 + 17 ^ 2015) / 29
= 8 + 9 + 12/29
= 29/29
= 0 —-> resto final

Answer 6

Estoy publicando esto para que la respuesta sea lo más clara posible:

Espero que pueda lograr ese objetivo.

Por FLT, a ^ 28≡11 ^ 28≡13 ^ 28≡17 ^ 28≡ 1 mod 29】

∵ 2015 = 1988 + 27 = 71 × 28 + 27

(i) 11 ^ 2015≡11 ^ 27mod29

(ii) 13 ^ 2017≡13 ^ 27mod29

(iii) 17 ^ 2017≡17 ^ 27 mod29

∵ 11 ^ 28≡1m29

(i) 11 × 11 ^ 27≡1m29≡ (87 + 1) mod29≡88 m29 【87 = 3 × 29】

∴11 ^ 27 ≡ 8 mod 29 ☜↙

(ii) ∵13 ^ 28≡1 mod29

13 × 13 ^ 27≡ 1mod29≡117m29 【4 × 29 = 116 + 1 = 117 = 13 × 9】

13 ^ 27 ≡ 9 mod 29☜↙

(iii) ∵17 ^ 28≡1m29

17 × 17 ^ 27≡1m29≡204m29 【7 × 29 = 203 + 1 = 204】

∴17 ^ 27 ≡ 12 mod 29☜↙

En resumen ,

∴N

≡ (13

11 ^ 2015 + 13 ^ 2015 + 17 ^ 2015

≡ (8 mod 29) + (9 mod 29) + (12 mod 29) 【desde↙】

≡ 29 mod 29

≡ ZERO mod 29

Answer 7

El pequeño teorema de Fermat nuevamente: 2016 es divisible por 28, que es [matemática] \ phi (29) [/ matemática], así que esto es lo mismo que encontrar [matemática] 11 ^ {- 1} +13 ^ {- 1} + 17 ^ {- 1} [/ math] en el mod 29. Los detalles son una tarea y se dejan como ejercicio para el lector.

Answer 8

Aprende el pequeño teorema de Fermat. Eso dice [matemáticas] a ^ {29} \ equiv a \ pmod {29} [/ matemáticas]. Esto significa que puede restar múltiplos de 28 de 2015, tomando efectivamente el resto. Obtienes 27. Esto significa que la potencia número 27 de cada número será suficiente. Así que tomemos (usando la exponenciación al cuadrado) la potencia 27 de cada número. Volveré a poner el resultado una vez que llegue a mi computadora portátil.
Entonces, es 8 + 9 + 12, equivalente a un resto de 0, a menos que haya cometido un error.