Deje [math] N = \ displaystyle \ frac {n} {d} = \ displaystyle \ frac {200!} {(10!) ^ {20} \ cdot 19!} [/ Math]. Para mostrar [math] N [/ math] es un número entero, considere el conjunto [math] S [/ math] de todos los primos que dividen el denominador. Para cada [matemática] p \ en S [/ matemática], debemos mostrar que la potencia más alta de [matemática] p [/ matemática] que divide el numerador es al menos tanto como la potencia más alta de [matemática] p [/ matemática ] dividiendo el denominador.
Deje que [math] e_p (n) [/ math] denote el poder más alto de [math] p [/ math] dividiendo [math] n [/ math]. Por la fórmula de De Polignac La fórmula de De Polignac – Wikipedia,
[matemáticas] e_p \ big (n! \ big) = \ displaystyle \ sum_ {k \ ge 1} \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {n} {p ^ k} \ right \ rfloor [/ math]. [matemáticas] … (\ estrella) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [matemática] S = \ {2,3,5,7,11,13,17,19 \} [/ matemática]. Si [math] p \ in \ {11,13,17,19 \} [/ math], entonces [math] e_p (d) = 1 [/ math] y [math] e_p (n) \ ge 1 [/ matemáticas].
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Usamos eqn. ([math] \ star [/ math]) para probar que [math] e_p (n) \ ge e_p (d) [/ math] para [math] p \ in \ {2,3,5,7 \} [ /matemáticas].
e_2 (n) = [matemáticas] \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {4} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {8} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {16} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {32} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {64} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {200} {128} \ right \ rfloor [/ math]
[matemáticas] = 100 + 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 197. [/ matemáticas]
[matemáticas] e_2 (d) = 20 \ cdot e_2 (10!) + e_2 (19!) [/ matemáticas]
[matemáticas] = 20 \ left (\ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {10} {2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {10} {4} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {10} {8} \ right \ rfloor \ right) + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {19} {2} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {19} {4 } \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {19} {8} \ right \ rfloor + \ left \ lfloor \ displaystyle \ frac {19} {16} \ right \ rfloor [/ math]
[matemáticas] = 20 (5 + 2 + 1) + (9 + 4 + 2 + 1) = 176. [/ matemáticas]
Podemos calcular de manera similar
[matemáticas] e_3 (n) = 66 + 22 + 7 + 2 = 97, e_3 (d) = 20 (3 + 1) + (6 + 2) = 88. [/ matemáticas]
[matemáticas] e_5 (n) = 40 + 8 + 1 = 49, e_5 (d) = (20 \ cdot 2) +3 = 43. [/ matemáticas]
[matemáticas] e_7 (n) = 28 + 4 = 32, e_7 (d) = (20 \ cdot 1) +2 = 22. [/ matemáticas]
Esto completa la verificación y la prueba de que [math] N [/ math] es un número entero.