La transformación [math] z \ mapsto e ^ {2 \ pi iz} [/ math] es muy interesante, ya que proporciona una conexión entre el análisis complejo y el análisis de Fourier.
De hecho, supongamos que tengo una función holomórfica [matemática] f (z) [/ matemática] tal que [matemática] f (z + 1) = f (z) [/ matemática]. Entonces puedo pensar en [matemáticas] f (z) [/ matemáticas] como vivir en un cilindro [matemáticas] 0 \ leq Re (z) \ leq 1 [/ matemáticas], donde las líneas [matemáticas] Re (z) = 0 [/ math] y [math] Re (z) = 1 [/ math] están identificados.
Ahora, ¿qué le sucede a este cilindro bajo la transformación [math] z \ mapsto e ^ {2 \ pi iz} [/ math]? Lo dejaré como un ejercicio para verificar que esta transformación enviará el cilindro al plano complejo menos el origen. Y, además, [math] e ^ {2 \ pi iz} \ rightarrow 0 [/ math] como [math] Im (z) \ rightarrow \ infty [/ math].
¿Qué significa esto? Podemos tomar nuestra función periódica [matemáticas] f (z) [/ matemáticas] y en su lugar pensar en ella como una función en el plano complejo menos el origen. Podríamos escribir esto como [matemática] F (q) [/ matemática], donde [matemática] q = e ^ {2 \ pi iz} [/ matemática].
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Pero ahora, tenemos una función que es holomórfica en todas partes, excepto en un solo punto, lo que significa que podemos hablar sobre la expansión de Laurent. Es decir,
[matemáticas] F (q) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ \ infty a_n q ^ n [/ matemáticas]
para alguna elección de coeficientes [math] a_n [/ math]. Sin embargo, esto significa que
[matemáticas] f (z) = F (q) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ \ infty a_n e ^ {2 \ pi inz} [/ math]
¡que reconocemos inmediatamente como una serie de Fourier de [matemáticas] f (z) [/ matemáticas]!
Bien, pero ¿qué tiene que ver eso con la teoría de números? Bueno, si se le da una función de interés en la teoría de números, como la función Mobius o la función de partición o la función de conteo primo, puede ser bastante difícil hacer algo con ella: no es una función en los reales o los números complejos, por lo que no puede usar ningún teorema sofisticado sobre la continuidad o diferenciabilidad y todas esas cosas divertidas.
Entonces, si eres un teórico analítico de números, improvisas. Intenta encontrar alguna función uniforme que pueda asociar a la función teórica de números que le interesa. Hay muchas maneras diferentes de hacerlo. Puede intentar extender su función teórica numérica a una función holomórfica (por ejemplo, la función factorial y la función gamma). Puede intentar hacer que su función teórica de números sea los coeficientes de una serie de potencias (esta es una de las formas de mostrar la relación entre los números de Fibonacci y la proporción áurea). Puede intentar convertir su función teórica de números en los coeficientes de Fourier de una función (esto es más o menos cómo se demostró la débil conjetura de Goldbach).
Una forma muy bien estudiada y famosa en la que podrías intentar hacer algo como esto es intentar asociar tu función teórica de números a una forma modular. Una forma modular de peso [matemática] k [/ matemática] es una función holomórfica [matemática] f (z) [/ matemática] en el semiplano superior [matemática] \ mathbb {H} [/ matemática] tal que
1.) [matemática] f \ left (\ frac {az + b} {cz + d} \ right) = (cz + d) ^ kf (z) [/ math] if [math] \ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix} \ en SL_2 (\ mathbb {Z}) [/ math]
Una nota al margen: dado que [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} \ en SL_2 (\ mathbb {Z}) [/ math], esto implica que [math] f ( z + 1) = f (z) [/ math], por lo que en la discusión anterior, tiene sentido hablar sobre los coeficientes de Fourier [math] a_n [/ math] de esta función.
2.) [matemática] a_n = 0 [/ matemática] para [matemática] n <0 [/ matemática].
Las formas modulares están altamente estructuradas, por lo que si de alguna manera puede expresar su función en términos de una forma modular, entonces puede demostrar resultados excepcionalmente sólidos sobre cómo se comporta su función. Anteriormente he escrito uno de estos resultados aquí: ¿Qué es la teoría analítica de números?
Entonces, debido a que tanto el análisis complejo como las series de Fourier son muy útiles para la teoría analítica de números, expresiones como [matemáticas] q = e ^ {2 \ pi iz} [/ matemáticas] aparecen con bastante frecuencia.