En primer lugar, tenga en cuenta que [matemáticas] (x-1) f (x) = x ^ 8-1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] (x ^ 7-1) f (x ^ 7) = x ^ {56} -1. [/ Matemáticas]
Esto significa que
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {(x ^ 7-1) f (x ^ 7)} {(x-1) f (x)} = \ frac {x ^ {56} -1} {x ^ 8- 1}. [/ Matemáticas]
Pero tenga en cuenta que [math] \ displaystyle 1 + x ^ 8 + x ^ {16} + \ cdots + x ^ {48} = \ frac {x ^ {56} -1} {x ^ 8-1} [/ math ] usando la suma de una serie geométrica. Además, [math] \ displaystyle 1 + x ^ 8 + x ^ {16} + \ cdots + x ^ {48} = f (x ^ 8) -x ^ {56} [/ math]. Además, [matemáticas] \ displaystyle \ frac {x ^ 7-1} {x-1} = 1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 6 = f (x) -x ^ 7 [/ matemáticas] .
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Así,
[matemáticas] \ displaystyle (f (x) -x ^ 7) \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} = f (x ^ 8) -x ^ {56}. [/ matemáticas]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} = \ frac {f (x ^ 8) -x ^ {56}} {f (x) -x ^ 7}. [ /matemáticas]
Esto significa que
[matemáticas] f (x ^ 7) (f (x) -x ^ 7) = f (x) (f (x ^ 8) -x ^ {56}) [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) f (x ^ 7) – x ^ 7f (x ^ 7) = f (x) f (x ^ 8) -f (x) x ^ {56} [/ matemáticas]
[matemáticas] f (x) (f (x ^ 7) -f (x ^ 8) + x ^ {56}) = x ^ 7f (x ^ 7) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7) -f (x ^ 8) + x ^ {56}} {x ^ 7} = \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} [/matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} = \ frac {f (x ^ 7) -f (x ^ 8)} {x ^ 7} + x ^ {49} .[/matemáticas]
Ahora
[matemáticas] f (x ^ 7) -f (x ^ 8) = 1 + x ^ 7 + x ^ {14} + \ cdots + x ^ {49} – (1 + x ^ 8 + x ^ {16} + \ cdots + x ^ {56}) [/ math]
[matemáticas] = x ^ 7 + x ^ {14} + \ cdots + x ^ {49} – (x ^ 8 + x ^ {16} + \ cdots + x ^ {56}). [/ math]
Por lo tanto
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7) -f (x ^ 8)} {x ^ 7} = (1 + x ^ 7 + x ^ {14} + \ cdots + x ^ {42}) – (x + x ^ 9 + x ^ {17} + \ cdots + x ^ {49}). [/ math]
Así
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} = (1 + x ^ 7 + x ^ {14} + \ cdots + x ^ {42}) – (x + x ^ 9 + x ^ {17} + \ cdots + x ^ {49}) + x ^ {49} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {f (x ^ 7)} {f (x)} = 1-x + x ^ 7-x ^ 9 + x ^ {14} -x ^ {17} + x ^ {21 } -x ^ {25} + x ^ {28} -x ^ {33} + x ^ {35} -x ^ {41} + x ^ {42}. [/ matemáticas]
Entonces el resto de la división es cero.