¿Existe siempre un isomorfismo entre [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math] y [math] \ mathbb {M} _ {m \ times n} [/ math]? ¿Se puede probar esto?

Answer 1

Sí, siempre hay un isomorfismo.

Prueba:
Como [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math] es un espacio vectorial dimensional finito sobre el campo [math] \ mathbb {R} [/ math], [math] \ existe [/ math] un finito conjunto B de orden mn que contiene los elementos básicos estándar de [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math]. Por lo tanto, cada vector en [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math] puede escribirse como una combinación lineal única de los elementos básicos estándar en B.

[math] \ forall v \ in \ mathbb {R} ^ {mn}, v = a_1e_1 + a_2e_2 +. . . + a_ {mn} e_ {mn} = [a_1, a_2,. . ., a_mn] \ begin {bmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \\… \\ e_ {mn} \ end {bmatrix} = [a_1, a_2,. . ., a_mn] B [/ matemáticas]

Dejar A = [matemáticas] [a_1, a_2,. . ., a_mn] [/ math], finalmente obtenemos

v = AB

para una base fija B. Tenga en cuenta que este A tiene que ser único, ya que de lo contrario contradiría la independencia lineal de B, que es una base para [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math].

Por lo tanto, asociado a cada v hay un mn-tupla A que contiene elementos en [math] \ mathbb {R} ^ {mn} [/ math], y para cada mn-tuple A que contiene elementos en [math] \ mathbb { R} [/ math], hay un vector único asociado a él, a saber, el generado por v = AB.

La observación final es que cada A [matemática] \ en [/ matemática] [matemática] \ mathbb {M} _ {mxn} [/ matemática] es solo otra representación de una mn-tupla.

Answer 2

Siempre y cuando solo esté interesado en la estructura aditiva de [math] \ mathbb {R} ^ {m \ cdot n} [/ math] y [math] \ mathbb {M} _ {m \ times n} [/ math ], entonces la respuesta de Bryson Galapon es exactamente lo que buscas.

Sin embargo, tenga en cuenta que cuando hablamos de un espacio de matrices como [math] \ mathbb {M} _ {m \ times n} [/ math], generalmente tenemos más que la estructura aditiva en mente. Esto se debe a que las matrices son código para funciones, y a menudo queremos hacer más que solo agregar funciones. Cuanta más estructura nos interese, más formas hay de que las cosas no sean isomorfas.