¡No existe porque la integral en sí misma es divergente!
[matemáticas] \ displaystyle \ dfrac {1} {t} \ tag * {} [/ matemáticas]
Tomando la transformada de Laplace de 1
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} \ left \ {1 \ right \} = \ dfrac {1} {s} \ tag * {} [/ math]
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[matemáticas] \ displaystyle f (u) = \ dfrac {1} {u}, \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {s} ^ {\ infty} \ dfrac {\ mathrm {d} u} {u} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = [\ ln | u |] _ {s} ^ {\ infty} \ tag * {} [/ matemáticas ]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ ln (s) – \ ln (\ infty) \ Rightarrow – \ infty \ tag * {} [/ matemáticas]
Probado que es divergente.
Otra forma de ver esto es
El resultado general para la transformación de Laplace es
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} \ left \ {t ^ {n} \ right \} = \ dfrac {n!} {s ^ {n + 1}} \ tag * {} [/ math]
No es que la [matemática] n = -1 [/ matemática] esté definida. [math] n! [/ math] solo se cumple para valores enteros no negativos.
Entonces, concluimos que no existe.
Herramientas utilizadas:
Algunos trucos
[matemáticas] \ displaystyle \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \ mathrm {d} t \ etiqueta * {} [/ math]
Suponer que
[matemáticas] \ displaystyle f (u) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ut} f (t) \ mathrm {d} t \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {s} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- ut} f (t) \ mathrm {d} t \ mathrm {d} u \ tag * {} [/ math]
Usando el teorema de Tonelli de Fubini para cambiar el orden de la integración,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {s} ^ {\ infty} e ^ {- ut} f (t) \ mathrm {d} u \ mathrm {d} t \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {0} ^ {\ infty} – \ dfrac {e ^ {- ut} f (t) } {t} \ mid_ {s} ^ {\ infty} \ mathrm {d} t \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {0} ^ {\ infty} 0+ \ dfrac {e ^ {- st} f (t )} {t} \ mathrm {d} t \ tag * {} [/ math]
Parece familiar ahora
[matemáticas] \ displaystyle \ int_ {s} ^ {\ infty} f (u) \ mathrm {d} u = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ dfrac {e ^ {- st} f (t)} {t} \ mathrm {d} t \ tag * {} [/ math]
Dónde
[math] \ displaystyle f (u) = \ mathcal {L} \ left \ {f (t) \ right \} \ tag * {} [/ math]