Si [math] p> 3 [/ math] es un número primo, ¿por qué [math] p [/ math] es un factor del numerador de [math] \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ frac {1} {i (pi)} [/ math]?

Answer 1

Esto puede ser fácil o difícil dependiendo de cuánto sepa sobre las congruencias mod [math] p [/ math] y cuánto se le permite / espera usar.

La respuesta rápida es que, trabajando mod [math] p [/ math],

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {i (pi)} \ equiv \ frac {1} {pi-i ^ 2} \ equiv \ frac {-1} {i ^ 2} \ pmod p [/ math] .

Ahora, como [matemática] i [/ matemática] se extiende sobre [matemática] 1, 2, \ ldots, p-1 [/ matemática], también lo hace [matemática] j = (-1) / i [/ matemática], entonces la suma es simplemente

[matemáticas] – \ sum_ {j = 1} ^ {p-1} j ^ 2 [/ matemáticas]

y es bien sabido que es congruente con 0 mod [math] p [/ math] siempre que [math] p-1 [/ math] no divida el exponente 2, lo cual es cierto tan pronto como [math] p > 3 [/ matemáticas]. QED

Si no se siente cómodo con las congruencias que involucran números racionales, una solución fácil es multiplicar la suma por [math] (p-1)! [/ Math], que convierte cada sumando en un entero y no cambia el numerador como divisible por [matemáticas] p [/ matemáticas]. Usando el teorema de Wilson, puede reemplazar el [math] (p-1)! [/ Math] con [math] -1 [/ math] y proceder como antes.

Si no está familiarizado con la prueba de que

[matemáticas] \ sum_ {x = 0} ^ {p-1} x ^ m \ equiv 0 \ pmod {p} [/ matemáticas]

siempre que [math] m [/ math] no sea divisible por [math] p-1 [/ math], la forma más rápida de demostrar esto es multiplicar la suma por un número [math] g [/ math] relativamente primo para [matemática] p [/ matemática] tal que [matemática] g ^ m \ not \ equiv 1 \ pmod {p} [/ matemática]. Esto siempre se puede hacer tomando [math] g [/ math] como una raíz primitiva, pero en nuestro caso, si no conoce las raíces primitivas, puede tomar cualquier [math] g [/ math] que sea no [math] \ pm 1 [/ math] mod [math] p [/ math], ya que solo necesita asegurarse de que [math] g ^ 2 \ neq 1 [/ math].

Answer 2

Alon Amit ya ha presentado una muy buena respuesta a esto. Mi respuesta es algo diferente y se sigue directamente del Teorema de Wolstenholme que establece que para primo [matemáticas] p> 3 [/ matemáticas] , el numerador de

[matemáticas] \ dfrac {1} {1} + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ cdots + \ dfrac {1} {p-1} [/ math]

es divisible por [matemáticas] p ^ 2 [/ matemáticas].

De esto se deduce fácilmente que el numerador de

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ dfrac {1} {i (pi)} = \ dfrac {1} {p} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {p -1} \ left (\ dfrac {1} {i} + \ dfrac {1} {pi} \ right) = \ dfrac {2} {p} \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {p-1} \ dfrac {1} {i} [/ matemáticas]

es divisible por [matemáticas] p [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]